高考文科数学复习备课课件：第九节　圆锥曲线的综合问题.pptx

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1、文数课标版第九节　圆锥曲线的综合问题考点一　圆锥曲线中的范围、最值问题典例1已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.考点突破解析(1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.由

2、题意知Δ=16(4k2-3)>0,解得k2>.x1,2=.从而

3、PQ

4、=

5、x1-x2

6、=.又点O到直线PQ的距离d=,所以S△OPQ=d·

7、PQ

8、=.设=t,则t>0,S△OPQ==.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.方法技巧圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不

9、等式方法等进行求解.1-1已知A,B,C是椭圆M:+=1(a>b>0)上的三点,其中点A的坐标为(2,0),BC过椭圆的中心,且·=0,

10、

11、=2

12、

13、.(1)求椭圆M的方程;(2)过点(0,t)的直线l(斜率存在时)与椭圆M交于两点P,Q,设D为椭圆M与y轴负半轴的交点,且

14、

15、=

16、

17、,求实数t的取值范围.解析(1)因为

18、

19、=2

20、

21、且BC过(0,0),则

22、OC

23、=

24、AC

25、.因为·=0,所以∠OCA=90°,所以C(,).由题意知a=2,所以设椭圆M的方程为+=1.将C点坐标代入得+=1,解得b2=4,所以椭圆M的方程为+=1.(2)由条件及(1)知D(0,-2),当k=0时,

26、显然-20可得t2<4+12k2,①设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点H(x0,y0),则x0==,y0=kx0+t=,所以H,由于

27、

28、=

29、

30、,所以DH⊥PQ,则kDH=-,即=-,化简得t=1+3k2,②所以t>1,将②代入①得,t2<4t,故1

31、;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM的面积为定值.解析(1)由题意得,a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.又c==,所以离心率e==.(2)证明:设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则+4=4.又A(2,0),B(0,1),所以,直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得yM=-,从而

32、BM

33、=1-yM=1+.直线PB的方程为y=x+1.令y=0,得xN=-,从而

34、AN

35、=2-xN=2+.所以四边形ABNM的面积S=

36、AN

37、·

38、BM

39、====2.从而四边形ABNM的面积为定值.方法

40、技巧1.定点问题的常见解法(1)根据题意选择参数,建立一个含参数的直线系或曲线系方程,经过分析、整理,对方程进行等价变形,以找出适合方程且与参数无关的坐标(该坐标对应的点即为所求定点).(2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.2.求定值问题常见的方法(1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.2-1已知椭圆C:+y2=1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:(x-3)2+(y-1)2=3相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P,Q两点,且

41、·=0,求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.解析(1)圆M的圆心为(3,1),半径r=.由题意知A(0,1),F(c,0),则直线AF的方程为+y=1,即x+cy-c=0,由直线AF与圆M相切,得=,解得c2=2,所以a2=c2+1=3,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)解法一:由·=0,知AP⊥AQ,从而直线AP与坐标轴不垂直,由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1(k≠0),则直线AQ的方程为y=-x+1(k≠0).将y=kx+1代入椭圆C的方程+y2=1中,整理,得(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x