清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-06微分提法-A课件.ppt

《清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-06微分提法-A课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、冯西桥清华大学工程力学系2006.11.09第六章弹性理论的微分提法DifferentialMethodofElasticity弹性理论的微分提法弹性力学问题的微分提法位移解法应力解法应力函数解法叠加原理解的唯一性定理圣维南原理Chapter6微分提法Chapter6.1在前面几章中已经建立了一系列的弹性力学基本方程，即平衡微分方程、几何方程和应力应变关系。但在解决具体问题时，还必须给定边界条件。本章中，将比较系统地阐明弹性力学问题的建立及其基本解法和一般原理。先将得到的基本方程综合如下：微分提法Chapter6.1平衡方程(Navier)：几何方程(Cauchy)：应变协调方程：(Sain

2、t-Venant)本构方程：(1)应变－应力公式：(Hooke)(2)应力－应变公式：(Lamé)微分提法Chapter6.1当选位移作基本量时只需考虑几何方程，协调方程将自动满足；当选应变作基本量时，只需满足协调方程，就能保证由几何方程积分出单值连续的位移场来。两个本构方程也是等价的，于是有两组基本方程组：第一组基本未知量：ij(6),ij(6),ui(3)平衡方程：(3)几何方程：(6)应力－应变关系：(6)微分提法Chapter6.1第二组基本未知量：ij(6),ij(6)平衡方程：(3)协调方程：(6-3)应变－应力关系：(6)微分提法Chapter6.1微分提法Chapte

3、r6.1边界条件：微分提法Chapter6.1弹性理论中常见的三种边界条件：处处给定外部作用力的力边界条件S。边界条件为：域内应力场的边界值应满足柯西公式不能消除刚体位移要满足整体平衡条件。微分提法Chapter6.1分量形式为：当时称为自由表面，是力边界的特殊情况。集中力化为作用在微小面积上的均布表面力。集中力矩则化为非均布表面力。微分提法Chapter6.1处处给定位移约束的位移边界Su。域内位移场的边界值应等于给定边界值：有时也可指定边界位移的导数值(例如，转角为零)或应变值。在静力学问题中，所给的位移应足以防止物体的刚体运动。微分提法Chapter6.1在部分边界S上给定外力，部

4、分边界Su上给定位移的混合边界S。这时要求对于弹性动力学问题，还应给定初始条件。4.混合型边界条件在边界同一位置，给定部分位移分量和部分面力分量。51chapter3.6微分提法5.弹簧类边界条件6.对称和反对称条件51chapter3.6微分提法对称载荷：在对称面上，所有对称场变量的一阶导数等于零，所有反对称场变量的值等于零。反对称载荷：在对称面上，所有反对称场变量的一阶导数等于零，所有对称场变量的值等于零。56chapter3.6微分提法6.对称和反对称条件微分提法Chapter6.1弹性力学问题微分提法的基本思想：从研究弹性体内的微元入手，导出描述微元静力平衡、变形几何及弹性关系的一组

5、基本方程，加上相应的边界条件把弹性力学问题归结为求解偏微分方程组的边值问题。微分提法Chapter6.1根据所研究的弹性体的受力或约束(表面位移)情况的不同，可将弹性力学问题分为以下三类：已知所研究物体内部的体积力及作用在物体上全部表面上的外力。即已知表面力边界条件求物体内部的应力分布及位移的问题。已知物体内部的体积力及全部表面上的位移。即已知位移边界条件求物体内部的应力分布及位移的问题。微分提法Chapter6.1已知物体内部体积力及一部分表面上的外力和其余表面上的位移。即已知混合边界条件求物体内部的应力分布和位移的问题。微分提法Chapter6.1从求解的未知量方面考虑，可分为如下四类：

6、位移为基本未知量应变为基本未知量应力（应力函数）为基本未知量混合未知量微分提法、解法及一般原理弹性力学问题的微分提法位移解法应力解法应力函数解法叠加原理解的唯一性定理圣维南原理Chapter6位移解法Chapter6.2位移解法是以位移分量ui作基本未知量的解法。即以位移分量的三个未知函数作为基本未知函数。这三个位移分量所对应的应力在物体内部应满足平衡微分方程。现经过下述步骤将平衡微分方程中的应力改用位移表示，从而得出用位移表示的平衡微分方程式。位移解法Chapter6.2用位移表示的平衡方程（Lamé-Navier方程）几何方程本构关系平衡方程位移解法Chapter6.2具体推导如下：先

7、将几何关系代入广义虎克定律，可得式中位移解法Chapter6.2位移解法Chapter6.2代入第一个以位移表示的平衡微分方程位移解法Chapter6.2同样可得其余两个方程，即式中位移解法Chapter6.2上式实质上是位移形式的平衡方程式，这就是位移法的基本方程式。综上指标形式位移解法Chapter6.2边界条件若给定的是位移边界条件，则直接用位移表示，即若给定的是表面力的边界条件，则可将其表面力以位移表