清华大学弹性力学冯西桥fxq-chapter-04应变理论

《清华大学弹性力学冯西桥fxq-chapter-04应变理论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、冯西桥清华大学工程力学系2007.10.17第四章应变理论TheoryofStrains应变理论位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动应变协调方程位移场的单值条件由应变求位移Chapter4位移和应变Chapter4.1位移位移和应变Chapter4.1位移的描述刚体位移：整个物体在空间做刚体运动引起的，包括平动和转动。变形：物体形状变化引起的位移，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置。一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。位移和应变Chapter4.1位移位移和应变Cha

2、pter4.1位移分量形式：或位移和应变Chapter4.1单轴应变xdxxABA’B’u(x)u(x+dx)F位移和应变Chapter4.1单轴应变微元的长度变化：Taylor级数展开：位移和应变Chapter4.1单轴应变略去高阶项：单轴应变（工程应变）定义为：位移和应变应变分量平行六面体(称为微元体)Chapter4.1应变分量Chapter4.1位移和应变Chapter4.1位移和应变Chapter4.1正应变(相对伸长度)位移和应变Chapter4.1切应变(剪应变)位移和应变Chapter4.1工程剪应变位移

3、和应变位移和应变＋uyx由于位移是坐标值的连续函数，所以P点在x及y轴上的位移分量为u，v，则A点及B点的位移分量为Chapter4.1位移和应变A:B:A:B:按照多元函数Taylor级数展开，并利用小变形假设而略去二阶以上的无穷小量，则得A点及B点的位移分量为Chapter4.1位移和应变Chapter4.1位移和应变＋u适用条件？Chapter4.1位移和应变小应变情况下，应变和位移的关系：Chapter4.1几何方程位移和应变小应变情况下，应变和位移的关系：Chapter4.1几何方程位移和应变小应变情况下，工程

4、应变和位移的关系：Chapter4.1几何方程位移和应变应变理论位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）刚体转动应变协调方程位移场的单值条件由应变求位移Chapter4Chapter4.2拉格朗日坐标系（或随体坐标系、物质坐标系）由变形前嵌入物体内的老坐标系随物体质点一起变形而得到的，所以在变形过程中，质点的坐标值始终保持不变。在物体变形中一般变为曲线坐标系。在固体力学中，大多采用拉格朗日坐标系。位移和应变Chapter4.2位移和应变欧拉坐标系（或空间坐标系）固定在空间点上的坐标系，其基矢量不随物体变形而变化。在

5、流体力学中，一般采用欧拉坐标系。Chapter4.2位移和应变uuChapter4.2P及P点的矢径分别为：位移和应变Chapter4.2根据变形后不开裂或重叠的基本假设，xi和ai间应存在一一对应的互逆关系。于是，以上两式的雅可比行列式应不为零，即位移和应变Chapter4.2位移和应变Chapter4.2定义P点的位移矢量：即注:弹性力学中，通常假定位移场足够光滑，存在三阶以上的连续偏导数。位移和应变位移Chapter4.2描述物体位移的方法拉格朗日描述法欧拉描述法位移和应变Chapter4.2拉格朗日描述法以物体

6、变形前的初始构形B为参照构形，质点变形前的坐标ai=(a1,a2,a3)为基本未知量。将变形后物体的位置x表示为a1,a2,a3的函数：位移场u用初始坐标ai描述：位移和应变Chapter4.2欧拉描述法以物体变形后的新构形B为参照构形，质点变形后的坐标xi=(x1,x2,x3)为基本未知量。将变形前物体的位置a表示为x1,x2,x3的函数：位移和应变位移场u用当前坐标xi描述：变形的描述考虑变形前的任意线元，其端点P(a1,a2,a3）及Q(a1+da1,a2+da2,a3+da3)的矢径分别为Chapter4.2位

7、移和应变Chapter4.2变形后，P、Q两点分别位移至P和Q，相应的矢径和线元为位移和应变Chapter4.2变形前后，线元和的长度平方为位移和应变Chapter4.2采用拉格朗日描述法，xm=xm(ai)，则注：一般记，称为变形梯度张量位移和应变Chapter4.2位移和应变Chapter4.2记位移和应变Chapter4.2根据商判则，E是二阶张量，称为格林应变张量。位移和应变Chapter4.2将上式改写为求导格林应变张量的位移分量表达式位移和应变Chapter4.2引进笛卡尔坐标系中位移梯度u和u写成实

8、体符号：位移和应变Chapter4.2在笛卡尔坐标系中分量形式为位移和应变Chapter4.2用格林应变张量表示线元的长度变化变形前，长度比：位移和应变Chapter4.2长度比表示为：位移和应变其中：Chapter4.2用格林应变张量表示线元方向的改变变形后，线元方向为位移和应变利用任意线元变形后的方向余弦可用位移