冯西桥弹性力学-07平面问题-b

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1、冯西桥清华大学工程力学系2006.11.30第七章平面弹性问题PlaneProblemsofElasticity平面问题Chapter7平面问题及其分类平面问题的基本解法应力函数的性质直角坐标中的平面问题解例平面问题的极坐标解轴对称问题非轴对称问题关于解和解法的讨论Chapter7.4直角坐标解例三角级数解外载荷q与解都可展为Fourier级数或xolHyq应力函数对x展成三角级数的一般形式：考虑级数中的任意一项：代入协调方程Chapter7.4直角坐标解例Chapter7.4平面问题直角坐标解其通解为：Chapter7.4代入n就得满足协调方程的一般项：通

2、过边界条件来确定待定常数。直角坐标解例平面问题Chapter7平面问题及其分类平面问题的基本解法应力函数的性质直角坐标中的平面问题解平面问题的极坐标解轴对称问题非轴对称问题关于解和解法的讨论Chapter7.5平面问题的极坐标解对于很多工程问题，采用极坐标进行求解更为方便：例如：圆形（柱、轴、筒、盘、环）、楔形、扇形、带小圆孔的物体、一些半无限大问题，等等。Chapter7.5基本方程(1)平衡方程(2)几何方程平面问题的极坐标解Chapter7.5平面问题的极坐标解(3)本构方程基本方程平面应力Chapter7.5平面问题的极坐标解轴向分量为：平面应力平面应变

3、平面应变：(4)协调方程Chapter7.5平面问题的极坐标解基本方程或Chapter7.5平面问题的极坐标解反之或Chapter7.5平面问题的极坐标解Chapter7.5平面问题的极坐标解极坐标下的调和算子：极坐标平面问题的应力函数解法基本方程Chapter7.5平面问题的极坐标解极坐标下，应力与应力函数的关系式：即应力第一不变量与坐标选择无关。位移：Chapter7.5平面问题的极坐标解Chapter7.5平面问题的极坐标解二阶张量（应力、应变）Chapter7.5平面问题的极坐标解或写成：Chapter7.5平面问题的极坐标解边界条件rxyoere

4、prpChapter7.5平面问题的极坐标解1r1pr2xyo2p2p1pr1当边界为坐标线时：=2:=p1,r=pr1,r=r1:r=-pr2,r=-p2(n+1)连通域，位移单值性条件平面问题Chapter7平面问题及其分类平面问题的基本解法应力函数的性质直角坐标中的平面问题解平面问题的极坐标解轴对称问题非轴对称问题关于解和解法的讨论Chapter7.6轴对称问题轴对称问题：几何形状与载荷分布都与环向坐标无关例1：厚壁筒受内压pi,外压poChapter7.6轴对称问题例2：旋转圆盘受离心力fr=2r例3：曲梁受纯弯曲

5、:位移与有关，应力、应力函数与无关yxrMMChapter7.6轴对称问题MzqrMz例4：圆盘受内、外均匀扭转:应力函数与有关，应力、位移与无关Chapter7.6轴对称问题应力函数解法Chapter7.6轴对称问题协调方程简化为四阶欧拉型变系数常微分方程，系数均为实数。Chapter7.6轴对称问题实系数欧拉方程的求解设解具有幂函数形式：代入一般形式中消去公因子rk-n，得特征方程Chapter7.6轴对称问题其n个特征根，分别记为k1，k2，…kn。当它们为互不相重的实根时，通解形式为：当出现重根时，每多一重根相应系数就多乘一个对数因子lnr。

6、Chapter7.6轴对称问题若出现共轭复根，则和虚部对应的是三角函数因子。例如，当时，通解为：当出现重复根时，则实部要多乘对数因子lnr。例如，当k1,2为p重共轭复根时，通解为：设解具有幂函数形式：代入一般形式中消去公因子rk-n，得特征方程Chapter7.6轴对称问题求解应力函数的双重调和方程Chapter7.6轴对称问题其特征根：通解：应力表示为：Chapter7.6轴对称问题应变分量：Chapter7.6轴对称问题于是可得位移分量Chapter7.6轴对称问题利用：＝常数Chapter7.6轴对称问题于是，轴对称位移分量：六个积分常数由边界条件确定。

7、位移单值条件要求：B=0Chapter7.6轴对称问题位移单值条件要求：B=0对于两端自由的轴对称问题，无论轴向有多长都属于平面应力问题。Chapter7.6轴对称问题对于圆域，为防止圆心r=0处出现无限大应力，必须令A=0。于是：这是个均匀拉压应力状态。Chapter7.6轴对称问题对于无应力(A=B=C=0)状态,位移分量表达式为：I和K分别是极坐标原点在x和y方向的刚体位移，而H是绕z轴的刚体转动。Chapter7.6轴对称问题一般轴对称问题的位移是与有关的。如果限制原点的刚体位移(I=K=0),且考虑位移单值情况(B=0)，则位移与无关。如进一步限制

8、刚体转动(H=0)，则只