冯西桥弹性力学-07平面问题-A

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1、冯西桥清华大学工程力学系2006.11.21第七章平面弹性问题PlaneProblemsofElasticity清华大学本科生《弹性力学》弹性力学Chapter7第一章绪论第二章张量分析初步第三章应力理论第四章应变理论第五章本构关系第六章弹性理论的微分提法第七章平面问题第八章柱形杆问题第九章空间问题第十章能量方法第七章平面问题Chapter7平面问题及其分类平面问题的基本解法应力函数的性质直角坐标中的平面问题解平面问题的极坐标解轴对称问题非轴对称问题关于解和解法的讨论实际工程结构是空间物体——三维弹性力学问题ij(x,y,z)6个ij(x,y,z)6个坐标(x,y,

2、z)的函数ui(x,y,z)3个两种解法:(1)以ui(x,y,z)为基本未知量(2)以ij(x,y,z)为基本未知量ij=(ui,j+uj,i)/26ij=[(1+)ij-kkij]/E6ij=2Gij+kkij6emjkenilij,kl=06-3ij,j+fi=03ij,j+fi=03简化：减少未知量数,减少问题的维数（材料力学：一维）弹性力学平面问题——二维问题：(x,y)的函数基本方程Chapter7.1本构关系位移表示的平衡方程（L-N方程）（3）位移边界条件（3）位移解法几何关系基本框架本构关系应力协调方程（3）应力平衡方程

3、（3）应力边界条件（3）应力解法几何关系基本框架平面问题及其分类Chapter7.1但许多工程构件例如水坝、隧道、厚壁圆筒、滚柱以及承受面内载荷的薄板等，都可以简化为二维平面问题，它们的特点是：1.几何上是柱形体，横截面形状沿形心轴z保持不变。且多数情况下是轴向尺寸比横截面尺寸大得多的柱形杆，或小得多的薄板。2.承受面内载荷。全部载荷及约束力都沿横截面(xy平面)作用，在面内构成自平衡力系。轴向(z)分量均为零，且都沿轴向保持不变。平面问题及其分类Chapter7.1平面问题产生的条件1结构几何特性：柱形体－横截面形状与z无关多数情况下：z方向尺寸>>横截面尺寸柱形杆或

4、：z方向尺寸<<横截面尺寸薄板yxzp炮筒受内压xzy支承板平面问题及其分类Chapter7.12载荷与约束：侧面只有x,y平面内的外载荷作用侧面作用力与约束条件不随z变化。若侧面无约束，边界作用外力构成自平衡力系。z的每个横截面，边界形状、给定力或位移边界条件完全相同，只是x,y的函数。只存在非零位移u(x,y),v(x,y)yxzp炮筒受内压xzy支承板平面问题及其分类Chapter7.1平面应变问题平面应力问题广义平面应变问题广义平面应力问题平面问题及其分类Chapter7.1平面应变问题zyxp★平面问题及其分类Chapter7.1平面应变基本假设：几何上是柱形

5、体，横截面形状沿形心轴z保持不变。且轴向尺寸比横截面尺寸大得多。承受面内载荷。全部载荷及约束力都作用在横截面(xy平面)内，在面内构成自平衡力系。轴向(z)分量均为零，且都沿轴向保持不变。没有轴向应变：平面问题及其分类Chapter7.1平面应变平面问题非零位移u(x,y),v(x,y)柱体两端面沿轴向固定w(x,y,z)=0非零应变分量x,y,xy(x,y)平面问题及其分类Chapter7.1x=x(x,y)y=y(x,y)xy=xy(x,y)xz=yz=z=0平面应变问题基本场变量：sx=sx(x,y)sy=sy(x,y)txy=txy(x,

6、y)sz=sz(x,y)txz=tyz=0u=u(x,y)v=v(x,y)w=0xyz例1水坝夹于山体中受静水压与自重xy化为二维问题平面问题及其分类Chapter7.1平面应变平面问题及其分类Chapter7.1zyx例2山洞受山体自重yx化为二维问题平面应变平面问题及其分类Chapter7.1平面应力问题xzy★MzMzqrz化为二维问题MzqrMz平面问题及其分类Chapter7.1平面应力问题基本假设：几何上是平面状薄板，其厚度远远小于面内特征尺寸。承受面内载荷。全部载荷及约束力都作用在横截面(xy平面)内，在面内构成自平衡力系。在所有位置，法向(z)分量均为零

7、。板的上下表面没有外力左右：平面问题及其分类Chapter7.1平面应力t柱体端面自由:z=xz=yz=0设柱体内部：z=xz=yz=0满足此条件者为：严格的平面应力问题平面问题及其分类Chapter7.1x=x(x,y)y=y(x,y)xy=xy(x,y)z=z(x,y)xz=yz=0平面应力问题场变量：sx=sx(x,y)sy=sy(x,y)txy=txy(x,y)sz=0txz=tyz=0u=u(x,y)v=v(x,y)w=w(x,y)≈0t平面问题及其分类Chapter7.1基本场变量：x=x(