清华大学弹性力学冯西桥fxq-chapter-05本构关系

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1、冯西桥清华大学工程力学系2006.11.02第五章本构关系ConstitutiveRelation目录Chapter5引言弹性的定义广义胡克定律应变能和应变余能应变能的正定性Differencebetweensolidsandfluids.MechanicsofSolids,TheNewEncyclopediaofBritannica,15thedition,Vol.23,pp.734-747,2002.“Amaterialiscalledsolidratherthanfluidifitcanalsosupportasubstantialshearingfor

2、ceoverthetimescaleofsomenaturalprocessortechnologicalapplicationofinterest.”J.R.Rice3Chapter2.1弹性的定义引言Chapter5应力张量s应力平衡方程：位移矢量u应变张量e几何方程：（应变协调方程：）本构关系材料的变形与所受应力之间的关系；是材料本身所固有的性质；本构关系的研究是固体力学最重要的课题之一。引言Chapter5目录Chapter5引言弹性的定义广义胡克定律应变能和应变余能应变能的正定性Chapter5.1由实验可知当加载到A点后卸载，加载与卸载路径并不完全

3、重合，亦即应力与应变之间不是单值对应的关系。OBACO称为滞后回线。其所包含的面积称为滞后面积。弹性的定义Chapter5.1对大多数材料来讲，当应力加载幅值较小时，滞后回线非常窄小，可以认为加载与卸载是重合的。因此应力与应变间可看作是单值对应关系。弹性的定义弹性本构关系：其中4Chapter2.1弹性的定义弹性本构关系：应力与应变率无关，也不依赖于变形历史；没有迟滞效应。小变形弹性本构关系均匀材料的小变形弹性本构关系均匀材料的小变形线弹性本构关系6Chapter2.1弹性的定义Chapter5.1各向同性弹性体假设物体是均匀、连续、各向同性的，应力和应变间的

4、关系只决定于物体的物理性质，应力和应变之间的关系与坐标的位置和方向无关。下面所研究的物体仅限于完全弹性体，即当物体除去外力后变形完全消失而恢复原状，而且应力与应变间成单值的线性关系。弹性的定义两个假设弹性体的响应仅依赖于当前的状态；弹性体变形可以用一个状态张量关系表示。7Chapter2.1超弹性（Green）弹性的定义线弹性:广义胡克定律:8Chapter2.1超弹性（Green）弹性的定义,14Chapter2.2晶体弹性的定义,15Chapter2.2silicon晶体弹性的定义,16Chapter2.2晶体三斜单斜正交三角四方六方立方弹性的定义17Ch

5、apter2.2长链高分子弹性的定义本构关系Chapter5弹性的定义广义胡克定律应变能和应变余能应变能的正定性广义胡克定律Chapter5.1单向应力状态时的胡克定律是式中E称为弹性模量。对于一种材料在一定温度下，E是常数。杨氏模量广义胡克定律Chapter5.1在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。在弹性极限内，横向相对缩短和纵向相对伸长成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：其中是弹性常数，称为泊松比。泊松比广义胡克定律Chapter5.1先考虑在各正应力作用下沿x轴的相对伸长，它由三部分组成，即线弹性叠加原理广义胡克定律Chapter5.1其中是

6、由于x的作用所产生的相对伸长是由于y的作用所产生的相对缩短是由于z的作用所产生的相对缩短广义胡克定律Chapter5.1将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下在x轴方向的应变同理可得到在y轴和z轴方向的应变广义胡克定律Chapter5.1根据实验可知，xy只引起xy坐标面内的剪应变xy，而不引起xz、yz，于是可得同理广义胡克定律Chapter5.1于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：广义胡克定律Chapter5.1杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为将弹性本构关系写成指标形式为广义胡克定律Chapter5.1广义胡克定律Ch

7、apter5.1如用应变第一不变量代替三个正应变之和，用应力第一不变量表示三个正应力之和，则其中称为体积模量。广义胡克定律Chapter5.1∵∴令则广义胡克定律Chapter5.1弹性关系的常规形式为其中G和称为拉梅常数。广义胡克定律Chapter5.1将应力和应变张量分解成球量和偏量，得由于偏量和球量相互独立，所以有广义胡克定律Chapter5.1第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化)第二式说明弹性体的形状畸变是由应力偏量引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状变化)广义胡克定律常用的三套

8、弹性常数E、ν单拉测定Lamé常数：G