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1、冯西桥清华大学工程力学系2007.09.21第二章张量分析初步FundamentalsofTensorAnalysis目录引言张量的基本概念，爱因斯坦求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商法则常用特殊张量，主方向与主分量AppendixA引言广义相对论（1915）、理论物理连续介质力学（固体力学、流体力学）现代力学的大部分文献都采用张量表示AppendixA主要参考书:W.Flugge,TensorAnalysisandContinuumMechanics,Springer,1972黄克智等，张量分析，清华大学出版社，2003.张
2、量基本概念标量（零阶张量）例如：质量，温度质量密度应变能密度，等其值与坐标系选取无关。AppendixA.1矢量（一阶张量）位移，速度，加速度，力，法向矢量，等AppendixA.1张量基本概念矢量矢量u在笛卡尔坐标系中分解为AppendixA.1其中u1,u2,u3是u的三个分量，e1,e2,e3是单位基矢量。张量基本概念矢量AppendixA.1既有大小又有方向性的物理量;其分量与坐标系选取有关，满足坐标转换关系；遵从相应的矢量运算规则张量基本概念矢量(可推广至张量)的三种记法：实体记法：u分解式记法：分量记法：AppendixA.1张量基本概念AppendixA.1指
3、标符号用法三维空间中任意点P的坐标（x,y,z）可缩写成xi,其中x1=x,x2=y,x3=z。两个矢量a和b的分量的点积(或称数量积)为：张量基本概念爱因斯坦求和约定如果在表达式的某项中，某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为哑指标，简称哑标。AppendixA.1张量基本概念AppendixA.1由于aibi=biai，即矢量点积的顺序可以交换：由于哑标i仅表示要遍历求和，故可成对地任意交换。例如：只要指标j或m在同项内仅出现两次，且取值范围和i相同。张量基本概念约定：如果不标明取值范围，则拉丁指标i,j,k,…表示三维指标，
4、取值1,2,3;希腊指标,,,…均为二维指标，取值1,2。张量基本概念张量基本概念拉丁指标希腊指标张量基本概念二阶张量应变，应力，速度梯度，变形梯度，等。三阶张量压电张量，等。四阶张量弹性张量，等。AppendixA.1二阶（或高阶）张量的来源描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量低阶张量的梯度低阶张量的并积更高阶张量的缩并，等。AppendixA.1张量基本概念张量基本概念应力张量AppendixA.1张量的三种记法：实体记法：分解式记法：分量记法：AppendixA.1张量基本概念爱因斯坦求和约定AppendixA.1张量基本概念AppendixA.1采用指标
5、符号后，线性变换表示为利用爱因斯坦求和约定，写成：其中j是哑指标，i是自由指标。张量基本概念例如一点的应力状态要用应力张量来表示，它是具有二重方向性的二阶张量，记为(或)。矢量和标量是特殊的张量，矢量为一阶张量，标量为零阶张量。AppendixA.1张量基本概念AppendixA.1在表达式或方程中自由指标可以出现多次，但不得在同项内出现两次，若在同项内出现两次则是哑指标。例：若i为自由指标张量基本概念★AppendixA.1自由指标表示：若轮流取该指标范围内的任何值，关系式将始终成立。例如：表达式在自由指标i取1，2，3时该式始终成立，即有张量基本概念★同时取值的自由
6、指标必须同名，独立取值的自由指标应防止重名。自由指标必须整体换名，即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。AppendixA.1i换成k张量基本概念★★AppendixA.1指标符号也适用于微分和导数表达式。例如，三维空间中线元长度ds和其分量dxi之间的关系可简写成：场函数f(x1,x2,x3)的全微分：张量基本概念★AppendixA.1可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来表示多重求和。例如：若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和，一般应加求和号。如：张量基本概念★★AppendixA.1一般说不能由等式两边消去ai导得但若ai可以任意
7、取值等式始终成立，则可以通过取特殊值使得上式成立张量基本概念★AppendixA.1小结通过哑指标可把许多项缩写成一项，通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。一般说，在一个用指标符号写出的方程中，若有k个独立的自由指标，其取值范围是1～n，则这个方程代表了nk个分量方程。在方程的某项中若同时出现m对取值范围为1～n的哑指标，则此项含相互迭加的nm个项。张量基本概念张量分析初步矢量和张量的记法，求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律，张量方程张量代数，商判则常用特殊张量，主方向与主分量Appe
