冯西桥弹性力学-10能量原理-A

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1、冯西桥清华大学工程力学系2007.12.19第十章能量原理EnergyMethods能量原理Chapter10泛函的极值与变分能量方法的一些基本概念可能功原理和功的互等定理虚功原理和余虚功原理最小势能原理和最小余能原理弹性力学变分问题的欧拉方程弹性力学变分问题的直接解法变分与变分法AppendixB泛函极值问题函数的微分与变分复合函数的变分泛函的变分变分法泛函的极值与变分AppendixB.1泛函极值问题求条件极值的拉格朗日乘子法条件极值问题：求函数在满足条件下的极值。引入函数：驻值条件：AppendixB.1泛函极值问题如果变量J依赖于在一定约束

2、条件下函数关系可以任意变化的函数y(x)，此y(x)称为自变函数，而依赖于自变函数的变量称为泛函。泛函泛函：函数：AppendixB.1泛函极值问题例1最短连线问题连接A，B两点的曲线长度L是随曲线形状，即曲线方程y=y(x)而变的，它是自变函数y(x)的泛函：AppendixB.1泛函极值问题现在要找函数L（曲线长度）取极小值的自变函数（曲线形状），利用后面的知识，可以自己证明它就是连接A，B两点的直线。在本例中容许参加比较长度的任何曲线都必须通过A，B两点，这就是具体问题对自变函数y(x)提出的约束条件。能满足这约束条件的函数有无穷多个，其中每

3、个都称为容许函数。所以，所谓“自变函数y(x)”并不表示某种固定的函数关系，它可以在容许的函数簇中任意选择和变化。AppendixB.1泛函极值问题例2悬臂梁问题悬臂梁-砝码系统的总势能是悬臂梁挠度曲线y(x)的泛函。可以证明，使总势能取极小值的挠度曲线就是悬臂梁处于平衡状态时的实际挠度曲线。AppendixB.1泛函极值问题左端受到约束边界条件：右端是自由边界条件。在泛函中容许出现与自变函数在无约束端处的边界值y(l)有关的项，称为边界项。AppendixB.1泛函极值问题当自变函数y(x)改变时，泛函的值也将随之改变。定义：若泛函在状态下的值，

4、比在的邻域内任意状态y(x)下的值都小（或都大），即则称泛函在状态下取极小值（或极大值），统称取极值。或AppendixB.2函数的微分和变分微分：函数的微分和变分变分：函数的变分：当y(x)是某个泛函的自变函数时，函数本身可以直接变成与它相邻的容许函数：其中和x是无关的无穷小量，函数(x)应在一定范围内选择，首先它应是y(x)的同类函数以保证当时，不仅函数和y(x)本身，而且它们的各阶导数都无限接近。此外，它们还应满足具体问题提出的约束条件，以保证是容许函数。AppendixB.2函数的微分和变分AppendixB.2函数的微分和变分这种因函

5、数关系的直接变化引起的自变函数的增量称为函数的一阶变分，简称变分，记为y。在变分过程中，函数y(x)的自变量x保持不变，如图所示，y是同一自变量处相邻两条曲线的函数值之差。AppendixB.2函数的微分和变分函数y(x)的一阶导数仍是自变量x的函数。于是的变分为AppendixB.2函数的微分和变分复合函数复合函数的变分微分：AppendixB.3复合函数的变分设复合函数与自变函数y(x)及其各阶导数与y(x)的自变量x有关，由自变函数的变分y所引起的函数增量F的线性主部称为复合函数的一阶变分，记为F。若先把看作是函数F的n＋2个“独立

6、变量”，则根据多元函数全微分公式，由这些变量的增量所引起的F的增量主部为：AppendixB.2函数的微分和变分复合函数的变分微分：变分：AppendixB.3复合函数的变分又∵∴高阶变分：AppendixB.3复合函数的变分由于变分y可以独立选择，与自变量y及其各阶导数无关，所以变分y（及其各阶导数）对自变量y（及其各阶导数的偏导数均为零，即作为自变函数的增量，y（及其各阶导数）的高阶变分均为零，即AppendixB.4泛函的变分泛函和复合函数的区别是：复合函数依赖于自变量x，而泛函则依赖于自变函数y(x)。当x给定后，立即能算出复合函数F

7、的一个相应值，但算不出泛函J的值来，因为J和定义域内的所有（而不是一个）x处的函数值F有关。泛函的变分AppendixB.4泛函的变分泛函J的各阶变分：由变分y引起的泛函J的增量为：AppendixB.5变分法变分法的基本问题：在满足约束条件的容许函数中，求能使泛函J(y(x))取极值的自变函数，若其中；y(x)为邻域内的任意容许函数。AppendixB.5变分法泛函极值的必要条件（驻值条件）为泛函的一阶变分为零，即泛函的极值的充分条件还需考虑二阶变分，即若，则还需看高阶变分的性质。AppendixB.5变分法变分法的基本预备定理设(x)是闭区

8、间上的连续函数，y是该区间上自变函数y(x)的变分，如果y在满足约束条件的前提下任意变化时，下式始终成立则被积函数(