冯西桥弹性力学-10能量原理-Bppt课件.ppt

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1、冯西桥清华大学工程力学系2006.12.27第十章能量原理EnergyMethods变分问题的直接解法Chapter10.6最小势能原理的直接解法总势能是三个位移分量ui的泛函：在位移边界上自变函数ui应满足约束条件：变分问题的直接解法Chapter10.6最小势能原理的直接解法里茨(Ritz)法迦辽金(Galerkin)法变分问题的直接解法Chapter10.6迦辽金法(Galerkin)基本思路：寻找一组（n个）满足所有边界条件的容许函数。用这些容许函数的组合构造一个试函数。用微分方程的加权余量格式得到近似解，不需要泛函。弹性力学问题的基本微分方程存在对应的泛函

2、，故可以从能量的极值原理推导出Galerkin法的基本方程。根据结构、载荷和边界条件，选取尽可能合适的位移试验函数变分问题的直接解法Chapter10.6Ritz方法写出弹性系统的总势能表达式对总势能进行变分，得到关于待定系数的线性方程组求解上述线性方程组变分问题的直接解法Chapter10.6例用Ritz方法求均载悬臂梁的挠度，梁的抗弯刚度为EJ。根据结构、载荷和边界条件，选取尽可能合适的位移试验函数变分问题的直接解法Chapter10.6总势能变分问题的直接解法Chapter10.6求得x＝l处的最大挠度为对位移的待定参数取变分变分问题的直接解法Chapter10.60

3、.50.29450.1250.11937精确解近似解误差（％）4.541N=5时误差（％）0.038.1与精确解的比较问题：误差的来源？如何提高精度？为什么应力的误差更大？变分问题的直接解法Chapter10.6里茨法(Ritz)第一步先找可能状态：选择一组在边界上满足指定约束条件的容许函数，把它们分别乘上待定常数并叠加起来，作为试验函数去代替真实的自变函数；第二步逼近真实状态：调整试验函数中的待定常数，使满足泛函驻值条件＝0，求得逼近于真解的近似解。显然试验函数选得越好，解的精度越高。变分问题的直接解法Chapter10.6取变分：其中：Galerkin方法变分问题的

4、直接接法Chapter10.6利用ij的对称性和高斯积分定理进一步写成：Galerkin方法变分问题的直接解法Chapter10.6根据变分法基本预备定理，由此导得三维弹性体的平衡方程(欧拉方程)和力边界条件(自然边界条件)。但是欧拉方程的精确解一般不容易找到，为此迦辽金法放松了在域内点点满足欧拉方程的要求，它要求试验函数在Su上满足位移边界条件，在S上满足力边界条件，而域内只要求按积分意义满足，即：变分问题的直接解法Chapter10.6于是，把寻找精确解的难题转化为只求整体满足积分平衡条件的近似解的问题。和里茨法一样，引进位移试验函数，把ij表示成位移参数ain的

5、函数，又ui=uinain,代入上式后注意到ain相互独立，令它们的系数分别为零，得：选取尽可能合适的位移试验函数，满足位移和应力边界条件变分问题的直接解法Chapter10.6Galerkin方法写出弹性系统的总势能表达式对总势能进行变分，得到Galerkin法的线性方程组求解上述线性方程组变分问题的直接解法Chapter10.6在域内并不处处满足平衡方程，代入平衡方程后，右端将出现非零的残量。调整试验函数中的待定参数，使残量与某些权函数之积在整个域上的积分值等于零(或者说，要求残量在域上与某些权函数正交)，就能得到合理的近似解。Galerkin方法的基本思想变分问

6、题的直接解法Chapter10.6迦辽金(Galerkin)法是加权残量法的一种特殊形式。它也可以处理不存在泛函的一类微分方程的边值问题，适用范围比里茨法广，但对存在泛函的弹性保守系统来说里茨法更为实用。里茨法仅要求试验函数满足约束边界条件，而迦辽金法还要求满足自然边界条件。要求高的试验函数不容易找，但如果能找到则精度较高。若取同一试验函数，则两种方法的结果相同。Ritz方法&Galerkin方法变分问题的直接解法Chapter10.6Galerkin法解题步骤(最小势能原理)求应变和应力变分问题的直接解法Chapter10.6例用Galerkin方法求均载悬臂梁的挠

7、度，梁的抗弯刚度为EJ。变分问题的直接解法Chapter10.6当选挠度w为自变函数时，迦辽金求解方程为当选曲率w为自变函数时，则对齐次边界条件的求解方程为梁弯曲的Galerkin求解方法变分问题的直接解法Chapter10.6如选取：它不满足x＝l处弯矩和剪力为零的条件。梁弯曲的Galerkin求解方法求得x＝l处的最大挠度为变分问题的直接解法Chapter10.6选取：它满足x＝l处弯矩和剪力为零的条件：梁弯曲的Galerkin求解方法变分问题的直接解法Chapter10.6利用左端位移边界条件，得：代入Ga