2012-2018全国卷圆锥曲线(理科).docx

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1、2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(理科)1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线的焦点为，准线为，．已知以为圆心，为半径的圆交于两点．（Ⅰ）若，的面积为，求的值及圆的方程．（Ⅱ）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值．2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆，圆，动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求．3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点．(Ⅰ)求的

2、方程；（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系中，曲线与直线交于两点．(Ⅰ)当时，分别求在点和处的切线方程；(Ⅱ)轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．5．(2016年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题)(本小题满分12分)设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．(I)证明为定值，并写出点E的轨迹方程；(II)设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．6.(2017年全国高考Ⅰ卷理科第20题)(本小题满分12分)已知椭圆C：（a>

3、b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.7．(2018年全国高考Ⅰ卷理科第19题)(本小题满分12分)设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．⑴当与轴垂直时，求直线的方程；⑵设为坐标原点，证明：．2012-2018全国卷圆锥曲线解答题(参考答案)1．(2012年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）设抛物线的焦点为，准线为，．已知以为圆心，为半径的圆交于两点．（Ⅰ）若，的面积为，求的值及圆的方程．

4、（Ⅱ）若三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值．【解析】(Ⅰ)由对称性知是等腰直角三角形，斜边，点到准线的距离，由得．圆的方程为．（Ⅱ）由对称性设，则．由点关于点对称得，从而，所以．因此，直线，即．又，求导得，即，从而切点．又直线，即．故坐标原点到直线距离的比值为．【考点分析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，涉及到简单的面积和点到直线的距离等基本计算问题，考查推理论证能力、运算求解能力．2．(2013全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知圆，圆，动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线．(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)是与圆,圆都相切的一条直线，与曲

5、线交于两点，当圆的半径最长时，求．【解析】由已知得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．设动圆的圆心为，半径为．(Ⅰ)因为圆与圆外切且与圆内切，所以，且．由椭圆的定义可知，曲线是以为左，右焦点，长半轴长为，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为．(Ⅱ)对于曲线上任意一点，由于，所以．当且仅当圆的圆心为时，．∴当圆的半径最长时，其方程为．当的倾斜角为时，与轴重合，可得．当的倾斜角不为时，由知不平行轴．设与轴的交点为，则，可求得，∴设，由与圆相切得，解得．当时，将代入整理得．(*)设，则是(*)方程的两根．所以，．．当时，由对称性知．综上，或．【考点分析】本小题主要考查直线、圆、椭圆等

6、基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力和方程思想．3．(2014年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点．(Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．【解析】(Ⅰ)设，由条件知，得．又，所以，，故的方程．（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，方程为，联立直线与椭圆方程：，化简得：．∵，∴．设，则，∴，且坐标原点到直线的距离为．因此，令，则．∵，当且仅当，即时，等号成立，∴．故当，即，时的面积最大．此时，直线的方程为．【考点分析】本小题主要考查直线、椭圆、函数和不等式等基础知识，考查推理

7、论证能力、运算求解能力、创新意识和方程思想．4．(2015年全国高考新课标Ⅰ卷理科第20题）在直角坐标系中，曲线与直线交于两点．(Ⅰ)当时，分别求在点和处的切线方程；(Ⅱ)轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．【解析】（Ⅰ）由题设可得或．又，故在处的导数值为．在点处的切线方程为，即．处的导数值为．在点处的切线方程为，即．故所求切线方程为和．(Ⅱ)存在符合题意的点．证明如下：设为符合题意的点，，直线的斜率分别为．将代入的方程，消去整理得，则是该方程的两根．故从而