线性代数练习册.doc

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1、《线性代数》练习册第二章矩阵§2.1矩阵的概念、§2.2矩阵的运算1.设矩阵,．计算矩阵,并比较二者是否相等.2.举例说明下列命题不正确：（１），则；（２），则或.3.设矩阵，计算,其中为正整数．4.设为阶矩阵，为奇数，且满足，．求．5.设，,,求.6.设维行向量，矩阵，其中是阶单位阵，求．7.设是阶实矩阵．证明:如果，则．8.对于任意的阶矩阵，称其主对角线上个元素之和为的迹，用表示，即.证明：对阶矩阵，有.§2.3几种特殊结构的矩阵1.设矩阵，其中两两不同．证明：与可交换的矩阵必是对角阵．2.设

2、矩阵与任意阶方阵可交换，求．3.设,是阶反对称矩阵,证明：(1)是对称矩阵；(2)是反对称矩阵．4.设是阶对称矩阵，是阶反对称矩阵．证明：是反对称矩阵的充分必要条件是．§2.4方阵的逆矩阵1.设为阶矩阵，且，其中为阶单位矩阵．证明：可逆，并求．2.设为阶非零实矩阵，．证明：是可逆矩阵．3.设是阶矩阵，证明：．4.判断下列矩阵是否可逆,如果可逆,求其逆矩阵．（1）（2）5.设矩阵，试求．§2.5分块矩阵1.设矩阵，利用分块矩阵求．2.已知，求3.设四阶矩阵=，，其中均为四维列向量，且已知行列式求．4

3、.设,,用矩阵的分块乘法求.5.设,是阶矩阵．证明：．6.设,分别是阶，阶可逆矩阵，为矩阵．证明：分块矩阵可逆，并求．§2.6矩阵的初等变换与初等矩阵1.设为阶可逆矩阵，是交换第行和第行所得的矩阵．（1）证明：是可逆矩阵．（2）求．2.设，为三阶矩阵，将的第1行的（-2）倍加到第3行得到，将的第1列乘以(-2)得到，已知，求．3.设矩阵，，问是否存在可逆阵，使得？若存在，试求．4.用初等变换法求下列矩阵的逆矩阵．（1）=（2）=5.已知三阶矩阵的逆矩阵，试求其伴随矩阵的逆矩阵．6.解下列矩阵方程：

4、．7.设.(1)求．(2)证明可逆，并求.8.设矩阵=，已知，试求矩阵．9.已知n阶矩阵=，求中所有元素代数余子式的和.§2.7矩阵的秩1．已知矩阵（1）计算的所有三阶子式；（2）利用（1）的结果求矩阵的秩.2．把矩阵化为阶梯形,并求其秩.3．讨论参数的取值，确定下列矩阵的秩:（1）.（2）．4.设是一个矩阵，是一个矩阵，且．证明：（1）如果，那么；（2）如果，那么．第二章综合练习题A一、填空题1．设为阶方阵，满足关系式，且，则________.2．设为阶方阵，且，其中为正整数．若将的n2个元素用

5、其代数余子式代替，得到的矩阵记为，则=_________.3．设，均为阶矩阵，,则=____________.4．设矩阵，满足，其中=，则=_________.5．已知=，为4阶方阵,且，则________.二、选择题1．设三阶矩阵，，其中均为三维行向量，已知，，则（）（A）1.(B)2.　　　　(C)3.(D)4.2．若，若的伴随矩阵的秩等于1，则必有（）．（A）（B）（C）.（D）3．若为阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（）．（A）（B）（C）（D）.4．设，为阶矩阵，，是其伴随矩阵，，则（）

6、．（A）（B）（C）（D）三、计算题1．设阶方阵=（1）求.（2）求的第行的代数余子式之和.2．设，为三阶矩阵，将第1行的（-3）倍加到第3行得到，将的第1列乘以（-3）得到，再将的第2列加到第1列得到，已知求．四、证明题1．设均为阶方阵，且，，证明：.2.设及均为阶可逆矩阵，证明可逆，且.第二章综合练习题B一、填空题1．已知当=时，，则__________.2．设均为阶方阵，且，则_______.3．设存在，且，则____________.4．设均为阶方阵，且，则____________.二、判

7、断说明题1．设（>2）阶实矩阵,且,其中是元素的代数余子式．则有．1．设为（>1）阶可逆矩阵，是的伴随矩阵．则.2．设为（>1）阶方阵，是的伴随矩阵．则的充分必要条件是3．设为（>1）阶方阵，则的充分必要条件是，其中，，这里不全为零．三、计算题1．已知三阶矩阵的逆矩阵为，求伴随矩阵的逆矩阵.2．设矩阵的伴随矩阵，且．求矩阵．四、证明题1．设为阶非奇异矩阵，为维列向量，为常数．记分块矩阵，（1）计算并化简；（2）证明：可逆的充分必要条件是．2．设阶矩阵，其中是维非零列向量．证明：（1）的充要条件是=

8、1.（2）当=1时，是不可逆矩阵.