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《线性代数习题册答案线性代数练习册四.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一．判断题（正确打√，错误打×）1.若都是的解，则是的一个解.(√)解答：因为都是的解，所以，.于是,所以是的一个解.注:设都是的解，为任意常数，则当时，是的解；当时，是的解.2.方程组基础解系的个数等于.(×)解答：正确定义：方程组基础解系所含解向量的个数等于.3.若方程组有非零解，则方程组必有无穷多解.(×)解答：正确命题：若方程组有非零解，则当方程组有解时，必有无穷多解.反例：方程组有非零解，但方程组无解.4.与为同解方程组.(√)解答：设为的解，那么，于是，所以也是的解；反之,如果为的解,那么,记，于是，所以，所以，所以也是的解，所以与为同解方程
2、组.注:此题也说明.5.方程组有无穷多个解的充分必要条件是至少有两个不同的解.(√)解答：方法一如果方程组有无穷多个解，显然至少有两个不同的解.反之,如果方程组至少有两个不同的解,那么,并且都是的解,其中为任意常数,所以有无穷多个解,而有解,所以有无穷多个解.方法二非齐次方程组的解只有三种情形：无解、唯一解、无穷多解，所以有无穷多解的充分必要条件是至少有两个不同的解.二.单项选择题1.设为阶方阵，且，是的两个不同的解向量，为任意常数，则的通解为(C).（A）；（B）；（C）；（D）.解答：因为为阶方阵,,所以的基础解系含个解向量.而是的线性无关解,所以的
3、通解为.注意：(D)错误的原因是若，则，不能做基础解系.2.当(D)时，齐次线性方程组一定有非零解.（A）；（B）；（C）；（D）.解答：如果,,所以存在非零解.3.方程组的系数矩阵记为，若存在三阶方阵，使得，则(A).（A）且；（B）且；（C）且；（D）且.解答：记,因为,所以,即都是的解,而,至少存在一个,所以存在非零解,所以系数行列式,所以,此时的系数矩阵为,,所以的基础解系含个解向量，所以线性相关，所以.（或者，若则存在，由可得,矛盾！）注：意味着矩阵的列向量都是方程组的解向量.4.设为阶奇异方阵，中有一元素的代数余子式，则方程组的基础解系所含向
4、量个数为(B).（A）；（B）；（C）；（D）.解答：因为为奇异方阵，所以，又因为,中有一元素的代数余子式，即中存在非零的阶子式，所以,所以方程组的基础解系所含向量个数为.5.设是的三个解向量，，，，为任意常数，则的通解为(C).（A）（B）（C）（D）解答：显然方程组有解，并且，所以．因此只要求出的一个非零解即可得到的通解．而,并且,所以的通解为,故选（C）．6.（2011考研题）设为矩阵，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意常数，则的通解为(C).（A）；（B）；（C）；（D）.解答：由是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，知是的基础解系，是
5、的特解，所以选（C）．三．填空题1.设四阶方阵且，则方程组的一个解向量为.解答：因为，所以方程组的一个解向量为．2.方程的通解为.解答：因为系数矩阵,所以，，因此，显然是的一个特解，所以的通解为．或者简单地：方程的通解为，其中为任意实数．3.设方程组有解，则其增广矩阵的行列式=0.解答：因为方程组有解，所以，所以．或者因为方程组有解，所以向量可由的列向量线性表示，所以．4.已知是3阶矩阵，，若的每行元素和都是零,则方程组的通解为．解答：因为是3阶矩阵，,所以．又因为的每行元素和都是零,所以,于是方程组的通解为．5.已知方程组无解，则-1.解答：由于所以当
6、时方程组有唯一解；四.计算题1.求齐次线性方程组的一个基础解系.解答：方程组的系数矩阵，所以所以一个基础解系为，.2.解齐次线性方程组．解答：因为所以,故方程组只有零解.3.求方程组与的非零公共解.解答：构造方程组，因为方程组系数矩阵，所以两个方程组的非零公共解，其中.4.解矩阵方程.解答：设，由得到两个方程组及，注意到两个方程组的系数矩阵一样，所以记，所以的通解为；的通解为.所以，其中是任意常数.5．设，，.如果是方程组的一个解，求的通解.解答：由题知，得，故(1)若，则，，有无穷多解，通解为，为任意常数.（2）若，则，有无穷多解，通解为，为任意常数.
7、6.已知，，，，讨论当为何值时：（1）可由线性表示，且表示法唯一;（2）可由线性表示，但表示法不唯一,并给出表示式；（3）不能由线性表示.解答：考虑方程组，因为，所以当时，可由线性表示，且表示法唯一.当时，方程组变为，通解为，所以，其中为任意实数.当时，增广矩阵为，增广矩阵的秩为3，系数矩阵的秩为2，所以不能由线性表示.7.设，.已知线性方程组存在两个不同的解，（1）求；（2）求方程组的通解.解答：（1）因为方程组存在两个不同的解，所以，所以.当时，，，方程组无解；舍去当时因有解，所以.（2）当，时，，通解为，即，为任意实数.五．证明题1．设为矩阵，，为
8、非齐次线性方程组的两个不同解，为对应的齐次线性方程组的一个非零解，证明：（1）向
