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时间:2020-08-05
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1、提公因式法(复习课)1.因式分解的概念因式分解是整式乘法运算的逆过程.例如(x+y)(x-y)=x2-y2是乘法运算,将它逆过来,x2-y2=(x+y)(x-y)就是因式分解.因式分解是一种恒等变形,把一个多项式化为几个因式的乘积形式,在变形前后,式子的值始终保持不变.2.公因式多项式ma+mb+mc各项都含有一个公式的因式m,因式m称为这个多项式各项的公因式.3.提公因式法将多项式中各项含有的公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫提公因式法.例1把8a3b2-12ab3c分解因式.分析:先应找出8a3b2与-12a
2、b3c的公因式,再提公因式进行分解.公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的.解: 8a3b2-12ab3c =4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc).例2 把3x2-6xy+x分解因式.解: 3x2-6xy+x =x·3x-x·6y+x·1 =x(3x-6y+1).注意x(3x-6y+1)=3x2-6xy+x,而x(3x-6y)=3x2-6xy,所以原式分解因式为x(3-6y+1),而不是x(3x-6y).这就是说,1作为项的系数通常可以省略,但如果单独成一项
3、时,它在因式分解时不能漏掉.例3 把-4m3+16m2-26m解因式.解: -4m3+16m2-26m =-(4m3-16m2+26m) =-2m(2m2-8m+13).注意如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出"-"号,使括号内的第一项的系数是正的.在提出"-"号时,多项式的各项都要变号.例4 把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.分析:应先找出2a(b+c)与-3(b+c)的公因式,再提公因式.这两个式子中都有(b+c),如果设b+c=m,问题就化为找出2am与-3m的公因式了.解:2a(b+c)-3(b+c)例5 把6(x-2
4、)+x(2-x)分解因式.分析:应先找出6(x-2)与x(2-x)的公因式再提公因式.因为2-x=-(x-2),所以x-2就是公因式.解:6(x-2)+x(2-x) =6·(x-2)-x·(x-2)=(x-2)(6-x).例6 把18b(a-b)2-12(a-b)3分解因式.解:18b(a-b)2-12(a-b)3 =6(a--b)2·3b-6(a-b)2·2(a-b) =6(a-b)2[3b-2(a-b)] =6(a-b)2(3b-2a+2b)=6(a-b)2(5b-2a).例7 把5(x-y)3+10(y-x)2分解因式.分析:要找出5(x-
5、y)3与10(y-x)2的公因式.因为(y-x)2=[-(x-y)]2=(x-y)2,所以(x-y)2就是公因式.解:5(x-y)3+10(y-x)2 =5(x-y)3+10(x-y)2 =5(x-y)2·(x-y)+5(x-y)2·2 =5(x-y)2[(x-y)+2] =5(x-y)2(x-y+2). 例8 下列由左到右的变形,哪些是因式分解?哪些不是?(1)a(a+b-c)=a2+ab-ac(2)x2-2x+4=x2-2(x-2)(3)a(x2-9)=a(x+3)(x-3)(4)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1(5)x2-2x+2y
6、-y2=(x2-y2)-2(x-y)(6)9a3-6a2+3a=3a(3a2-2a)分析 (1)是乘法计算;(2)、(4)、(5)的右边不是乘积形式;(6)的右边括号内漏掉了“1”这一项;只有(3)是把多项式ax2-9a化成了单项式a与二项式x+3与x-3的乘积形式,且二项式不可再分.解 (1)不是; (2)不是; (3)是; (4)不是; (5)不是; (6)不是.例9 把an+1-an-1+an分解因式.分析 相同字母最低次幂是an-1,从而公因式是an-1.解 an+1-an-1+an=an-1(a2-1+a)例10 把x(x-y)+y
7、(y-x)分解因式解 x(x-y)+y(y-x) =x(x-y)-y(x-y) =(x-y)(x-y) =(x-y)2[点评] 相同的因式要写成幂的形式.例11 把(a-b)2(x-2y)+(b-a)2(2x-y)分解因式.解 原式=(a-b)2(x-2y)+(b-a)2(2x-y) =(a-b)2[(x-2y)+(2x-y)] =(a-b)2(3x-3y) =3(a-b)2(x-y)例12 不解方程组求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值分析 先把7y(x-3y)2-2(3y-x)3f进行因式
8、分解,再将2x+y=6和x-3y=1整体代入.解 7y(x-3y)2-2(3y-x)3 =7y(x-3y)2+2(x-3y)3
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