提公因式法(复习课).doc

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1、提公因式法(复习课)1.因式分解的概念因式分解是整式乘法运算的逆过程.例如(x+y)(x-y)=x2-y2是乘法运算,将它逆过来,x2-y2=(x+y)(x-y)就是因式分解.因式分解是一种恒等变形,把一个多项式化为几个因式的乘积形式,在变形前后,式子的值始终保持不变.2.公因式多项式ma+mb+mc各项都含有一个公式的因式m,因式m称为这个多项式各项的公因式.3.提公因式法将多项式中各项含有的公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫提公因式法.例1把8a3b2－12ab3c分解因式．分析：先应找出8a3b2与－12a

2、b3c的公因式，再提公因式进行分解．公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的．解： 8a3b2－12ab3c   ＝4ab2·2a2－4ab2·3bc＝4ab2(2a2－3bc)．例2 把3x2－6xy＋x分解因式．解： 3x2－6xy＋x   ＝x·3x－x·6y＋x·1   ＝x(3x－6y＋1)．注意x(3x－6y＋1)＝3x2－6xy＋x，而x(3x－6y)＝3x2－6xy，所以原式分解因式为x(3－6y＋1)，而不是x(3x－6y)．这就是说，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项

3、时，它在因式分解时不能漏掉．例3 把－4m3＋16m2－26m解因式．解： －4m3＋16m2－26m   ＝－(4m3－16m2＋26m)   ＝－2m(2m2－8m＋13)．注意如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出"－"号，使括号内的第一项的系数是正的．在提出"－"号时，多项式的各项都要变号．例4 把2a(b＋c)－3(b＋c)分解因式．分析：应先找出2a(b＋c)与－3(b＋c)的公因式，再提公因式．这两个式子中都有(b＋c)，如果设b＋c＝m，问题就化为找出2am与－3m的公因式了．解：2a(b＋c)－3(b＋c)例5 把6(x－2

4、)＋x(2－x)分解因式．分析：应先找出6(x－2)与x(2－x)的公因式再提公因式．因为2－x＝－(x－2)，所以x－2就是公因式．解：6(x－2)＋x(2－x) ＝6·(x－2)－x·(x－2)＝(x－2)(6－x)．例6 把18b(a－b)2－12(a－b)3分解因式．解：18b(a－b)2－12(a－b)3 ＝6(a-－b)2·3b－6(a－b)2·2(a－b) ＝6(a－b)2[3b－2(a－b)] ＝6(a－b)2(3b－2a＋2b)＝6(a－b)2(5b－2a)．例7 把5(x－y)3＋10(y－x)2分解因式．分析：要找出5(x－

5、y)3与10(y－x)2的公因式．因为(y－x)2＝[－(x－y)]2＝(x－y)2，所以(x－y)2就是公因式．解：5(x－y)3＋10(y－x)2 ＝5(x－y)3＋10(x－y)2 ＝5(x－y)2·(x－y)＋5(x－y)2·2 ＝5(x－y)2[(x－y)＋2] ＝5(x－y)2(x－y＋2)． 例8 下列由左到右的变形,哪些是因式分解?哪些不是?(1)a(a+b-c)=a2+ab-ac(2)x2-2x+4=x2-2(x-2)(3)a(x2-9)=a(x+3)(x-3)(4)x2-y2-1=(x+y)(x-y)-1(5)x2-2x+2y

6、-y2=(x2-y2)-2(x-y)(6)9a3-6a2+3a=3a(3a2-2a)分析 (1)是乘法计算;(2)、（4）、（5）的右边不是乘积形式；（6）的右边括号内漏掉了“1”这一项；只有（3）是把多项式ax2-9a化成了单项式a与二项式x+3与x-3的乘积形式，且二项式不可再分.解 （1）不是； （2）不是； （3）是； （4）不是； （5）不是； （6）不是.例9 把an+1-an-1+an分解因式.分析 相同字母最低次幂是an-1，从而公因式是an-1.解 an+1-an-1+an=an-1(a2-1+a)例10   把x(x-y)+y

7、(y-x)分解因式解 x(x-y)+y(y-x)   =x(x-y)-y(x-y)   =(x-y)(x-y)   =(x-y)2[点评] 相同的因式要写成幂的形式.例11 把(a-b)2(x-2y)+(b-a)2(2x-y)分解因式.解 原式=(a-b)2(x-2y)+(b-a)2(2x-y)       =(a-b)2[(x-2y)+(2x-y)]       =(a-b)2(3x-3y)       =3(a-b)2(x-y)例12 不解方程组求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值分析 先把7y(x-3y)2-2(3y-x)3f进行因式

8、分解，再将2x+y=6和x-3y=1整体代入.解 7y(x-3y)2-2(3y-x)3    =7y(x-3y)2+2(x-3y)3