高中数学全程学习方略配套课件：2.2.2等差数列的性质(人教A版必修5).ppt

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1、【思考】【点拨】等差数列性质的应用【名师指津】等差数列的“子数列”性质.若数列{an}是公差为d的等差数列，则（1）{an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；（2）奇数项数列{a2n-1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差数列；（3）若{kn}成等差数列，则{}也是等差数列.【特别提醒】数列{an}的子数列所具有以上性质的前提是：数列{an}是等差数列.【例1】在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，求a2+a8.【审题指导】由题目可知3+7=4+6=2×5=2+8，结合等差

2、数列的性质:m+n=p+qam+an=ap+aq.可得a3+a7=a4+a6=2a5=a2+a8.【规范解答】因为a3+a7=a4+a6=2a5，所以a3+a7+a4+a6+a5=5a5，所以5a5=450，即a5=90.又因为a2+a8=2a5，所以a2+a8=180.【互动探究】在本题中，若改为a2+a8=180，又如何求a3+a4+a5+a6+a7的值呢？【解题提示】利用等差数列的性质.【解析】因为a2+a8=2a5=180，所以a5=90.又因为a3+a7=a4+a6=2a5.所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=5×90

3、=450.【变式训练】在等差数列{an}中，a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7=_______.【解题提示】利用等差数列的性质:m+n=p+qam+an=ap+aq.【解析】∵在等差数列{an}中，a2+a11=a3+a10=a6+a7，∴a2+a3+a10+a11=2（a6+a7）=48，∴a6+a7=24.答案：24等差数列的有关运算【名师指津】等差数列有关运算的技巧（1）当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…;（2）当等差数列{

4、an}的项数为偶数项时，可设中间两项为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,这样可减少运算量.【例2】(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数.【审题指导】由题目可知（1）根据三个数的和为9，成等差数列，可设这三个数为a-d，a，a+d（d为公差）；（2）四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d（公差为2d）;也可以设出等差数列的首项和公

5、差，建立基本量的方程组求解.【规范解答】（1）方法一：设这三个数分别为a-d,a,a+d（d为公差）,则（a-d）+a+（a+d）=9，（a-d）·a=6（a+d），解得：a=3,d=-1,故所求三个数为4，3，2.方法二：设数列的首项为a,公差为d,则这三个数分别为a,a+d,a+2d,由已知得：a+（a+d）+（a+2d）=9,a（a+d）=6（a+2d）解得：a=4,d=-1,故这三个数分别为4,3,2.(2)方法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d（公差为2d），依题意，2a=2，且（a-3d）（a+3d）=-8，

6、即a=1，a2-9d2=-8，∴d2=1，∴d=1或d=-1.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，∴d=1，故所求的四个数为-2，0，2，4.方法二：若设数列的首项为a，公差为d，则这四个数为a，a+d，a+2d，a+3d,依题意，2a+3d=2，且a（a+3d）=-8，把a=1-d代入a（a+3d）=-8，得（1-d）（1+d）=-8，即1-=-8，化简得d2=4，所以d=2或-2.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d=2，所以a=-2,故所求的四个数为-2，0，2，4.【变式训练】已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为求

7、这5个数.【解题提示】等差数列{an}的项数5为奇数，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：a-2d，a-d，a，a+d，a+2d.【解析】设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a-2d,a-d，a，a+d，a+2d.由已知有：由①得，5a=5,∴a=1,代入②整理得10d2=∴d2=∴d=±当d=时，这5个数分别为当d=-时，这5个数分别为等差数列的综合应用【名师指津】1.等差数列综合问题的类型：等差数列是关于n的一次函数（d=0时为常数函数），常与单调性、参数的取值范围以及解三角形等问题相结合考查.2.解决数列综合问题的

8、方法策略（1）结合等差数列的性质或利用等差中项.（2）利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.（3）利用函数或不等式的有关方法解决.【例】在△ABC中，若lgsinA,lgsinB,