高中数学全程学习方略配套课件：1.1.2余弦定理(人教A版必修5).ppt

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1、【思考】【点拨】余弦定理的简单运用【名师指津】理解与应用余弦定理的关注点：(1)余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例.(2)在应用余弦定理时，因为已知三边(求角)或已知两边及夹角(求第三边)时，三角形是惟一确定的，即此时的解是惟一的.【特别提醒】在余弦定理的表达式中，含有三边和一边的对角这四个元素，可利用方程的思想，知三求一.【例1】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的三边，a2-(b-c)2=bc，(1)求A；(2)若B等于x，周长为y，求函数y=f(x)的取值范围.【审题指导】先对a2-(b-c)2=b

2、c进行化简，再利用余弦定理求解；先写出y=f(x)的解析式，再利用三角函数知识求解.【规范解答】(1)由a2-(b-c)2=bc得:a2-b2-c2=-bc，∴又∵00)，则c为最大边，角C为三角形中最大内角，由余弦定理∴C=120°.正、余弦定理的综合应用【名师

3、指津】正、余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实际情况可以选择性地运用，也可以综合运用，要注意以下关系式的运用：【特别提醒】如何灵活地运用正弦定理、余弦定理呢？关键在于观察、分析已知条件的结构特征，并联想公式运用之.【例2】(2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且asinAsinB+bcos2A=(1)求(2)若求B.【审题指导】（1）利用正弦定理化简上式，从而求得的值；(2)利用余弦定理求B.【规范解答】(1)

4、由正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A即sinB(sin2A+cos2A)故sinB所以(2)由余弦定理得又因为所以整理得又由(1)知b2=2a2，故可得cos2B=又cosB>0，故所以B=45°.【误区警示】不能正确利用余弦定理和(1)的结论，从而导致(2)无法求解.【变式训练】在△ABC中，AC=2，BC=1，(1)求AB的值；(2)求sin(2A+C)的值.【解题提示】先由余弦定理解出AB，再结合正弦定理及倍角公式等解出sin2A、cos2A、sinC的值.【解析】(1)由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2A

5、C·BCcosC(2)由cosC=且0BC,∴C>A，判断三角形的形状【名师指津】判断三角形形状的方法：判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形的形状.【例3】在△ABC中，若sinA-2sinBcosC=0，试判断△ABC的形状.【审题指导】将角化为边或将边化为角来

6、判断三角形的形状.【规范解答】方法一：∵sinA-2sinBcosC=0,∴由正弦定理知a=2bcosC,再由余弦定理得∴b2=c2,b=c,.故△ABC为等腰三角形.方法二：由sinA=sin(B+C),∴有sinBcosC+cosBsinC-2sinBcosC=0,即sinCcosB-cosCsinB=0,sin(C-B)=0,∴C-B=0,即C=B.故△ABC为等腰三角形.【互动探究】本例中，将所给条件变为b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则三角形的形状又如何？【解题提示】利用“角化边”或“边化角”来判断

7、三角形的形状.【解析】方法一：由正弦定理(R为△ABC外接圆的半径），将原式化为sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC.∵sinBsinC≠0，∴sinBsinC=cosBcosC，即cos(B+C)=0，∴B+C=90°.∴A=90°.∴△ABC为直角三角形.方法二：将已知等式变为b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC.由余弦定理，可得即∴b2+c2=a2.∴△ABC为直角三角形.【例】在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，求证：【审题指导】利用正弦定理、余弦定理，把边

8、化为角，再利用三角函数知识化简.【规范解答】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB，∴a2-b2=b2-a2-2bccosA+2accosB.整理得：由正弦定理得：代入上式整理得：【变式备选】在