弹性力学 03章 平面问题的直角坐标解答课件.ppt

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1、第三章平面问题的直角坐标解答本章要点:利用第二章得出的基本方程,求解平面问题在直角坐标下的解答。主要包括以下主要内容:1.逆解法与半逆解法;2.多项式解答;3.位移分量的求出;4.简支梁受均布荷载;5.楔形体受重力和液体压力;第三章平面问题的直角坐标解答§3-1逆解法与半逆解法(1)平衡微分方程解的形式常体力下问题的基本方程:边界条件、位移单值条件。(a)(b)式(a)为非齐次方程,其解:全解=齐次方程通解+非齐次方程的特解。1.特解常体力下特解形式:(1)(2)(3)2.通解式(a)的齐次方程:(c)(d)的通解。第三章平面问题的直角坐标解答§3-1逆解法与半逆解法(1)

2、平衡微分方程解的形式(d)将式(d)第一式改写为(e)(f)由微分方程理论,必存在一函数A(x,y),使得同理,将式(d)第二式改写为(g)(h)比较式(f)与(h),有也必存在一函数B(x,y),使得第三章平面问题的直角坐标解答§3-1逆解法与半逆解法(1)平衡微分方程解的形式由微分方程理论,必存在一函数φ(x,y),使得(i)(j)将式(i)、(j)代入(e)、(f)、(g)、(h),得通解(k)3.全解取特解为:则其全解为:(3-1)——常体力下平衡方程(a)的全解。由式(3-1)看:不管φ(x,y)是什么函数,都能满足平衡方程。φ(x,y)—平面问题的应力函数—Ai

3、ry应力函数第三章平面问题的直角坐标解答§3-1逆解法与半逆解法(2)相容方程的应力函数表示(3-1)将式(3-1)代入常体力下的相容方程得:注意到体力X、Y为常量,有将上式展开,有(3-2)——应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。第三章平面问题的直角坐标解答§3-1逆解法与半逆解法(2)相容方程的应力函数表示(3-2)式(3-2)可简记为:或:式中:满足方程(3-2)的函数φ(x,y)称为重调和函数(或双调和函数)。按应力求解平面问题(X、Y=常量)的归结为:先由方程(3-2)求出应力函数:然后将代入式(3-1)求出应力分量:1.2.第三章平面问题的直角坐标解

4、答§3-1逆解法与半逆解法(3)应力函数求解方法1.逆解法(1)根据问题的条件(几何形状、受力特点、边界条件等),假设各种满足相容方程(2-27)的φ(x,y)的形式;(2)然后利用应力分量计算式(2-26),求出(具有待定系数);(3)再利用应力边界条件式(2-18),来考察这些应力函数φ(x,y)对应什么样的边界面力问题,从而得知所设应力函数φ(x,y)可以求解什么问题。(1)根据问题的条件(几何形状、受力特点、边界条件等),假设部分应力分量的某种函数形式;(2)根据与应力函数φ(x,y)的关系及,求出φ(x,y)的形式;(3)最后利用式(2-26)计算出并让其满足边界

5、条件和位移单值条件。2.半逆解法第三章平面问题的直角坐标解答§3-2多项式解答(1)一次多项式多项式解答的适用于由一些直线边界构成的弹性体。多项式解答的目的:考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y),能解决什么样的力学问题。2.检验φ(x,y)是否满足双调和方程:显然φ(x,y)满足双调和方程,因而可作为应力函数。3.对应的应力分量:若体力:X=Y=0,则有:1.设其中:a、b、c为待定系数。在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式,对应力无影响。对应于无体力和无应力状态;第三章平面问题的直角坐标解答§3-2多项式解答(2)二次多项式1.其中:a、b、c为待定系

6、数。(设X=Y=0;a>0,b>0,c>0)检验φ(x,y)是否满足双调和方程,显然有2.(可作为应力函数)3.由式(2-26)计算应力分量:xy2c2c2a2a结论:二次多项式对应于均匀应力分布。第三章平面问题的直角坐标解答§3-2多项式解答(3)三次多项式1.其中:a、b、c、d为待定系数。检验φ(x,y)是否满足双调和方程,显然有2.可作为应力函数(假定:X=Y=0)3.由式(2-26)计算应力分量:结论:三次多项式对应于线性应力分布。讨论:可算得:xy1ll图示梁对应的边界条件:MM可见:——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。常数d与弯矩M的关系:(1)由梁端部

7、的边界条件:(2)此结果与材力中结果相同,说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。第三章平面问题的直角坐标解答§3-2多项式解答(3)三次多项式第三章平面问题的直角坐标解答§3-3位移分量的求出(1)形变分量本节以纯弯曲梁为例,说明如何由3个应力分量求出形变分量、位移分量。由前节可知:平面应力下的物理方程如下:l1hMM(a)将(a)代入物理方程得:(b)第三章平面问题的直角坐标解答§3-3位移分量的求出(2)位移分量将(b)式代入几何方程得:将(c)式前两式积分得:式中为未知函数将(d)代入(c)式第三式知:(c)

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