弹性力学—第三章—平面问题的直角坐标解答.ppt

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1、第三章平面问题的直角坐标解答胡衡武汉大学土木建筑工程学院弹性力学及有限元二零零八年五月常体力情况下的平面问题常体力情况下的平面问题需要满足：1.艾里应力函数表示的相容方程：2.边界条件3.位移单值条件逆解法与半逆解法逆解法：先设定各种形式的满足相容方程的应力函数，并由此求出应力分量；然后根据边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应边界上什么样的面力，从而得知应力函数可以解决的问题。半逆解法：根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量的函数形式；并从而推出应力函数的形式；然后代入相

2、容方程求出应力函数的具体表达式；再由应力分量与应力函数的关系求得应力分量，并考察这些应力分量能否满足应力边界条件和位移单值条件。如果条件都满足，则得出的结果就是正确解答，否则需要另作假设。不计体力的平面问题的逆解法（1）注：线性应力函数对应于无体力，无面力，无应力的状态，因此把平面问题的应力函数加上或减去一个线性函数，并不影响应力。不计体力的平面问题的逆解法（2）xyxyxy不计体力的平面问题的逆解法（3）xy矩形梁的纯弯曲（1）—边界条件xyMMh/2h/2l矩形梁的纯弯曲（2）—边界条件xyM

3、Mh/2h/2l总能满足矩形梁的纯弯曲（3）—位移分量xyMMh/2h/2l物理方程矩形梁的纯弯曲（4）—位移分量xyMMh/2h/2l几何方程矩形梁的纯弯曲（5）—位移分量xyMMh/2h/2l注：同一截面上的转角为常数；梁的纵向纤维的曲率与材料力学中的公式一致。矩形梁的纯弯曲（6）—位移分量xyMMh/2h/2l矩形梁的纯弯曲（7）—位移分量xyMMh/2h/2l简支梁受均布载荷（1）—应力分量函数xyh/2h/2llqlqlqy方向正应力由直接载荷q引起，由于q不随x变化，所以可以假设y方向

4、正应力也不随x变化，即：简支梁受均布载荷（2）—应力函数xyh/2h/2llqlqlq不计体力简支梁受均布载荷（3）—相容方程qlxyh/2h/2llqlq相容方程要求上式对所有x都成立，这就要求x的系数以及式中常数都为零，即：简支梁受均布载荷（4）—相容方程qlxyh/2h/2llqlq注：此式中的常数项在应力函数中为一次项，故略去。简支梁受均布载荷（5）—由应力函数求应力分量函数qlxyh/2h/2llqlq简支梁受均布载荷（6）—边界条件qlxyh/2h/2llqlq由于yz面是梁和载荷的对

5、称面，所以正应力应该是x的偶函数，切应力是x的奇函数。E=F=0E=F=G=0简支梁受均布载荷（7）—边界条件（主要边界）qlxyh/2h/2llqlq简支梁受均布载荷（8）—边界条件（主要边界）qlxyh/2h/2llqlq简支梁受均布载荷（9）—边界条件（次要边界）qlxyh/2h/2llqlq圣维南原理：？简支梁受均布载荷（10）—边界条件（次要边界）qlxyh/2h/2llqlq简支梁受均布载荷（11）—边界条件（次要边界）qlxyh/2h/2llqlq由上式可知，剪应力表达式总能满足边界

6、条件。简支梁受均布载荷（12）—材料力学解答qlxyh/2h/2llqlq简支梁受均布载荷（13）—材料力学解答与弹性力学解答比较qlxyh/2h/2llqlq弹性力学对材料力学的修正项。弹性力学与材料力学的结果一致。为什么材料力学中忽略此项？简支梁受均布载荷（14）—材料力学解答与弹性力学解答比较qlxyh/2h/2llqlq材料力学弹性力学引用平面截面假设不引用平面截面假设不考虑微分体的平衡考虑微分体的平衡忽略横向正应力不忽略横向正应力只适应杆状结构非杆状结构半逆解法小结提出应力分量函数形式假

7、设。由应力分量与应力函数的关系推导应力函数的形式。将应力函数代入相容方程。以坐标参数为基准合并同类项，并令其中各项的系数以及常数项为零，从而得到满足相容方程的应力函数形式。计算各应力分量。列出主要边界条件和次要边界条件。先从主要边界条件下手求解应力分量中的参数。主要条件不够就利用次要边界条件。次要边界条件不能完全满足（与已求得的参数有矛盾）就利用圣维南原理。楔形体受重力和液体压力（1）xyρ1gρ2g在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将有两部分组成：第一部分由重力引起，应当于ρ1g成正比，第二部

8、分由液体压力引起，应当与ρ2g成正比。因此，应力分量的表达式只能为Aρ1gx,Bρ1gy,Cρ2gx,Dρ2gy的组合。因此应力函数设为：楔形体受重力和液体压力（2）xyρ1gρ2g该应力函数总能满足相容方程：因此，直接可以求应力分量的函数形式：楔形体受重力和液体压力（3）xyρ1gρ2g主要边界条件(1)：楔形体受重力和液体压力（4）xyρ1gρ2g主要边界条件(2)：斜面楔形体受重力和液体压力（5）xyρ1gρ2g应力分量函数：边界条件：楔形体受重力和液体压力（6）xyρ1gρ