《弹性力学》第三章平面问题的直角坐标解答

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1、第三章平面问题的直角坐标解答第三章平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答§3-1多项式解答§3-2位移分量的求出§3-3简支梁受均布载荷§3-4楔形体受重力和液体压力§3-5级数式解答§3-6简支梁受任意横向载荷习题课1一、应力函数取一次多项式§3-1多项式解答平面问题的直角坐标解答应力分量：应力边界条件：结论：（1）线性应力函数对应于无面力、无应力的状态。（2）把任何平面问题的应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。二、应力函数取二次多项式1.对应于，应力分量。2平面问题的直角坐标解答结论：

2、应力函数能解决矩形板在方向受均布拉力（设）或均布压力（设）的问题。如图3-1（a）。2.对应于，应力分量。结论：应力函数能解决矩形板受均布剪力问题。如图3-1（b）。图3-1（a）（b）（c）3平面问题的直角坐标解答3.应力函数能解决矩形板在方向受均布拉力（设）或均布压力（设）的问题。如图3-1（c）。三、应力函数取三次多项式对应的应力分量：结论：应力函数（a）能解决矩形梁受纯弯曲的问题。如图3-2所示的矩形梁。（a）图图3-24平面问题的直角坐标解答具体解法如下:如图3-2,取单位宽度的梁来考察,

3、并命每单位宽度上力偶的矩为。这里的因次是[力][长度]/[长度]，即[力]。在左端或右端，水平面力应当合成为力偶，而力偶的矩为，这就要求：前一式总能满足，而后一式要求：代入式（a），得：5将式（a）中的代入，上列二式成为：平面问题的直角坐标解答因为梁截面的惯矩是，所以上式可改写为：结果与材料力学中完全相同。注意：对于长度远大于深度的梁，上面答案是有实用价值的；对于长度与深度同等大小的所谓深梁，这个解答是没有什么实用意义的。6§3-2位移分量的求出平面问题的直角坐标解答以矩形梁的纯弯曲问题为例，说明如

4、何由应力分量求出位移分量。一、平面应力的情况将应力分量代入物理方程7平面问题的直角坐标解答得形变分量：（a）再将式（a）代入几何方程：得：前二式积分得：（b）（c）其中的和是任意函数。将式（c）代入（b）中的第三式8平面问题的直角坐标解答得：等式左边只是的函数，而等式右边只是的函数。因此，只可能两边都等于同一常数。于是有：积分以后得：代入式（c），得位移分量：其中的任意常数、、须由约束条件求得。（d）9平面问题的直角坐标解答（一）简支梁如图3-3（a），约束条件为：由式（d）得出：代入式（d），就得

5、到简支梁的位移分量：梁轴的挠度方程：图3-3（a）（b）10平面问题的直角坐标解答（二）悬臂梁如图3-3（b），约束条件为：由式（d）得出：代入式（d），得出悬臂梁的位移分量：梁轴的挠度方程：二、平面应变的情况只要将平面应力情况下的形变公式和位移公式中的换为，换为即可。11§3-3简支梁受均布载荷平面问题的直角坐标解答设有矩形截面的简支梁，深度为，长度为，受均布载荷，体力不计，由两端的反力维持平衡。如图3-4所示。取单位宽度的梁来考虑，可视为平面应力问题。图3-4用半逆解法。假设只是的函数：则：对积

6、分，得：解之，得：其中，、是任意函数，即待定函数。（a）（b）12平面问题的直角坐标解答现在考察，上述应力函数是否满足相容方程。为此，对求四阶导数：将以上结果代入相容方程，得：相容条件要求此二次方程有无数的根(全梁内的值都应该满足它),所以,它的系数和自由项都必须等于零。即：13平面问题的直角坐标解答前面两个方程要求：第三个方程要求：（c）（d）将式（c）和（d）代入式（b），得应力函数：（e）相应的应力分量为：（f）（g）（h）14平面问题的直角坐标解答这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果

7、要使全部应力边界条件都满足，除非常数、…等于特定值，这样以上应力分量才是正确的解答。因为面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于yz面。这样，和应当是的偶函数，而应当是的奇函数。于是由式（f）和（h）可见：将上式代入应力分量表达式，三个应力分量变为：上式中共有六个待定常数，利用应力边界条件求出。（一）考察上下两边的边界条件（i）15平面问题的直角坐标解答整理，得：由于这四个方程是独立的，互不矛盾的，而且只包含四个未知数，所以联立求解，得：将上面所得常数代入应力分量表达式（i），得：（k）（l）（

8、j）16平面问题的直角坐标解答（二）考察左右两边的边界条件由于对称性，只需考虑其中的一边。考虑右边：（m）（n）将式（j）代入式（m），得：积分，得：将式（j）代入式（n），得：积分，得：17平面问题的直角坐标解答将式（l）代入，上式成为：另一方面，在梁的右边剪应力满足：将和代入式（j），得：（p）将式（p）、（k）、（l）整理，得应力分量：（q）18平面问题的直角坐标解答式（q）可以改写为：各应力分量沿铅直方向的变化大致如图3-5所示。在的表达式中，第一项是主要项，