第四讲弹性力学平面问题直角坐标解答

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1、直角坐标系下平面问题定义平面应力问题的应力函数平面应力问题直角坐标解法.第四讲：弹性力学平面问题直角坐标解答弹塑性力学研究生核心课程.任晓丹同济大学建筑工程系www.renxiaodan.comOctober29,2017任晓丹第四讲：弹性力学平面问题直角坐标解答直角坐标系下平面问题定义平面应力问题的应力函数平面应力问题直角坐标解法本节主要内容1.直角坐标系下平面问题定义2.平面应力问题的应力函数3.平面应力问题直角坐标解法任晓丹第四讲：弹性力学平面问题直角坐标解答直角坐标系下平面问题定义平面应力问题的应力函数平面应力问题直角坐标解法弹性力学基本方程平衡方程ij;j+fi=0

2、协调方程"ik;jl"jk:il"il:jk+"jl:ik=0本构方程ij=Eijkl:"kl()()=3K1"+2G"1"="+2"ij3kkijij3kkijkkijij"=1([])ijEijkkijij任晓丹第四讲：弹性力学平面问题直角坐标解答直角坐标系下平面问题定义平面应力问题的应力函数平面应力问题直角坐标解法平面应变问题位移场u=u(x;y);v=v(x;y);w=0应变场()"=@u;"=@v;"=1@u+@vx@xy@yxy2@y@x"z=0;"xz=0;"yz=0任晓丹第四讲：弹性力学平面问题直角坐标解答直角坐标系下平面问题定

3、义平面应力问题的应力函数平面应力问题直角坐标解法平面应变问题考虑广义胡克定律8><"=1[(+)];"=1xExyzyz2Gyz"=1[(+)];"=1>:yEyxzzx2Gzx"=1[(+)];"=1zEzxyxy2Gxy平面应变场"z=0;"xz=0;"yz=0可得z=(x+y);"yz=0;"zx=0任晓丹第四讲：弹性力学平面问题直角坐标解答直角坐标系下平面问题定义平面应力问题的应力函数平面应力问题直角坐标解法平面应变问题平面应变问题广义胡克定律8><"=1()xE1x1y"=1()>:yE1y1x"=1xy2

4、Gxy其中EE1EE1=2;1=;=111+11+将平面应变问题（z̸=0）转化为三个平面应力分量表示的应力应变关系。任晓丹第四讲：弹性力学平面问题直角坐标解答直角坐标系下平面问题定义平面应力问题的应力函数平面应力问题直角坐标解法平面应变问题平衡方程8@x+@xy+@xz+f=0><@x@y@zx@yx@y@yz>:@x+@y+@z+fy=0@zx+@zy+@z+f=0@x@y@zz平面应变问题平衡方程{@x@xy@x+@y+fx=0@yx@y@x+@y+fy=0任晓丹第四讲：弹性力学平面问题直角坐标解答直角坐标系下平面问题定义平面应

5、力问题的应力函数平面应力问题直角坐标解法平面应变问题协调方程"ik;jl"jk:il"il:jk+"jl:ik=0对于平面应变问题i;j;k;l=(1;2)只有@2"x@2"y@2"xy+=2@x2@y2@x@y任晓丹第四讲：弹性力学平面问题直角坐标解答直角坐标系下平面问题定义平面应力问题的应力函数平面应力问题直角坐标解法平面应力问题应力场：z=0;xz=0;yz=0当x=h/2一般的，当厚度h不太大，近似认为:{z=0;xz=0;yz=0x;x;xy均为(x;y)的函数任晓丹第四讲：弹性力学平面问题直角坐标解答直角坐标系下平面问题定义平面应力问题的应力

6、函数平面应力问题直角坐标解法平面应力问题考虑广义胡克定律8><"=1[(+)];"=1xExyzyz2Gyz"=1[(+)];"=1>:yEyxzzx2Gzx"=1[(+)];"=1zEzxyxy2Gxy平面应力场8><"=1()xExy"=1()>:yEyx"=1xy2Gxy任晓丹第四讲：弹性力学平面问题直角坐标解答直角坐标系下平面问题定义平面应力问题的应力函数平面应力问题直角坐标解法平面应力问题平衡方程8@x+@xy+@xz+f=0><@x@y@zx@yx@y@yz>:@x+@y+@z+fy=0@zx+@

7、zy+@z+f=0@x@y@zz平面应力问题平衡方程{@x@xy@x+@y+fx=0@yx@y@x+@y+fy=0任晓丹第四讲：弹性力学平面问题直角坐标解答直角坐标系下平面问题定义平面应力问题的应力函数平面应力问题直角坐标解法平面应力问题协调方程"ik;jl"jk:il"il:jk+"jl:ik=0其中包含：@2"x@2"y@2"xy+=2@x2@y2@x@y对于平面应力问题，当厚度h不太大，近似认为其余协调方程均能够满足。任晓丹第四讲：弹性力学平面问题直角坐标解答直角坐标系下