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《弹性力学-第七章 平面问题的直角坐标解答课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七章平面问题的直角坐标解答弹性力学主讲邹祖军第七章平面问题的直角坐标解答§7-1平面应变问题§7-2平面应力问题§7-3平面问题及体积力为常量时的特性§7-4应力函数§7-5平面应力问题的近似性质§7-6自由端受集中力作用的悬壁梁§7-7受均布荷载作用的简支梁§7-8三角形水坝第七章平面问题的直角坐标解答§7-1平面应变问题§7-1平面应变问题A.几何特征一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。柱体所占空间V——近似认为无限长B.外力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度
2、z方向不变化。约束——沿长度z方向不变化。在oxy平面内构成平衡力系第七章平面问题的直角坐标解答§7-1平面应变问题C.变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，则沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面(7.1)满足条件(7.1)及以上特征的弹性力学问题称为平面应变问题(3.13)将(7.1)代入几何方程(3.13)(7.2)(a)在平面应变问题中，独立的应变分量只有三个在平面应变问题中，独立的应变分量只有三个第七章平面问题的直角坐标解答§7-1平面应变问题
3、(5.26b)(7.3)因由胡克定律(b)六个应力分量中独立的也只有三个(7.4)(7.5)第七章平面问题的直角坐标解答§7-1平面应变问题应力分量只是x,y的函数,且Z方向体积力为0,则平衡方程变为(7.6)和是x,y的函数应变协调方程(3.34c)中五个自动满足,剩下一个为(7.7)将物理方程(7.4)代入上式得(3.34c)(c)第七章平面问题的直角坐标解答§7-1平面应变问题(7.6)对平衡方程(7.6)中的两式分别相对于x和y求导,相加得(d)利用式(d)消去式(c)中的剪应力得(7.8)(e)式(7.8)
4、是应力表示的协调方程,边界条件为(7.9)式中是二维Laplace算子平面应变问题:二个位移分量,三个应变分量和三个应力分量.满足几何方程(7.2),本构关系(7.4)和平衡方程(7.6)共八个方程及边界条件(7.9)第七章平面问题的直角坐标解答§7-1平面应变问题三种可以按平面应变问题求解的情况第一种:在z=0和z=L的两端有边界条件(7.10)以上条件平面应变问题是精确满足的.如图7.1a第二种:柱体很长.除两端外,w=0,侧面上z向外力也为零.也可按平面应变问题求解,如图7.1b第七章平面问题的直角坐标解答§7
5、-1平面应变问题第三种:柱体很长.高应力区远小于低应力区,且低应力区的应力近似为零.除两端外,也可按平面应变问题求解,如图7.1c§7-2平面应力问题第七章平面问题的直角坐标解答§7-2平面应力问题A.几何特征yz2hxyba一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。——平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等B.受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿z方向不变化。第七章平面问题的直角坐标解答§7-2平面应力问题C.应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上
6、不受力，有因板很薄，且外力沿z轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：由剪应力互等定理，有结论：平面应力问题只有三个应力分量：xy应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。yz2hxyba(7.11)(7.12)第七章平面问题的直角坐标解答§7-2平面应力问题如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题第七章平面问题的直角坐标解答§7-2平面应力问题(5.26b)独立的应变分量也只有三个.平面应力问题的胡克定律为因,由(5.26b)左边前两式相加得(a)由
7、(5.26b)第三式得(7.13)由得(b)(7.14)第七章平面问题的直角坐标解答§7-2平面应力问题平面应力问题:二个位移分量,三个应变分量和三个应力分量.满足几何方程(7.2),本构关系(7.14)和平衡方程(7.6)共八个方程及边界条件(7.9)Z方向的位移(c)不考虑刚体位移,(7.15)必须满足协调方程(3.34c).有三个自动满足,剩下三个(d)其中A,B,C是常数(7.16a)第七章平面问题的直角坐标解答§7-2平面应力问题若解是x,y的线性函数,则平面应力问题的解是精确解对于h很小的薄板,z方向对应
8、力的影响很小,即使(7.16)不满足,仍可近似按平面应力问题求解.(7.16b)同样可得平面应力问题的应力协调方程为(7.17)第七章平面问题的直角坐标解答§7-3平面问题及体积力为常量时的特性§7-3平面问题及体积力为常量时的特性平面应力问题平面应变问题基本方程中平面应力问题和平面应变问题在数学上完全相同,统称为弹性力学平面问题当体力为常量时
