弹性力学平面问题的直角坐标解法课件.ppt

《弹性力学平面问题的直角坐标解法课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、问题的简化问题的解法位移解法应力解法应力函数解法特殊问题的解悬臂梁的弯曲解均布横向荷载简支梁的弯曲解任意横向荷载简支梁弯曲的三角级数解第三章平面问题的直角坐标解法平面应力问题平面应变问题空间问题平面问题特殊化1）无限长的等直柱体；2）在柱体侧面受到与轴线垂直，且沿轴向均布的面力作用；3）体力也垂直于轴线，并沿轴线均布。平面应变问题所有横截面都是对称平面对称面的法向位移为零所有横截面的面内位移都相同空间几何方程独立位移和应变独立几何方程平面应变问题的位移、应变和几何方程空间问题的物理方程非独立应力独立应力独立物理方程平面

2、应变问题的物理方程和应力平面应变问题的平衡方程自然满足！独立的平衡方程1）等厚度的薄板；2）面力和体力都平行于板面，且面力沿厚度均匀地作用在板的周边上；3）在板面上无外力作用。平面应力问题板面的力学边界条件因为板很薄，假设：板面的零应力在板内部也为零，非零应力沿板厚不变化独立的平衡方程平面应力问题的应力空间问题的物理方程非独立应变独立应力独立物理方程平面应力问题的物理方程和应变空间几何方程平面应力问题的几何方程和位移矛盾忽略z的高阶项！平面问题的未知物理量平衡方程几何方程物理方程平面应变问题平面问题的基本方程平面应力问

3、题合并(平面应力)(平面应变)(平面应力)(平面应变)力学边界条件位移边界条件，平面问题的边界条件两类平面问题的异同两类平面问题的基本方程形式相同差异平面应力问题平面应变问题薄板无限长柱体近似二维问题精确二维问题力学边界条件须在边界上逐点满足，强条件！合力（矩）边界条件特殊应力边界条件无须在边界上逐点满足，弱条件！右表面：上表面：下表面：应力边界条件例题以位移为基本未知量，控制方程和边界条件由位移表示。先求出位移，再通过几何方程和物理方程求出应变和应力将几何方程代入物理方程得到有位移表示的应力将应力表达式代入平衡方程，

4、得到拉梅方程位移解法力学边界条件位移边界条件边界条件位移解法例题单位厚度薄板，两侧均匀受压，上下刚性约束，不计摩擦和体力位移场拉梅方程控制微分方程边界条件边界条件位移解法例题①自然满足自然满足位移的对称性位移解应变和应力解省略位移解法例题以应力（应变）作为基本未知量平衡方程和边界条件均由应力（应变）表示数学上存在问题：平衡方程数目（2个）<未知量数目（3个），解的不确定性（多解）解决途径：增加方程（相容方程）有解得的应变解通过几何方程求解位移，方程数目（3个）>未知量数目（2个），无法定解（无解）解决途径：方程相关（几

5、何方程间存在关系）真实的物理（力学）问题，解必定存在应力（应变）解法应变相容性的物理考虑由连续的位移场（位移关于物质所占初始空间区域坐标的函数），必定导致连续的应变场（几何方程）——弹性变形不会导致物体发生开裂和材料重叠连续的3个应变场之间若没有一定的关系，如每个方格自由变形就会解出使物体发生开裂或材料重叠的非单值连续的位移场物体的相容性（变形协调性）：保证变形后物体连续性，通过积分几何方程得到单值连续位移场的应变场的内在关系应变相容性几何方程求导并整理平面问题的应变相容方程应变相容性方程应变相容方程物理方程平衡方程应

6、力（表示的）相容性方程应力相容方程常体力，等于零平衡方程应力相容方程边界条件应力做未知量，无法满足。需利用静力平衡转换为力学边界条件或静力等效的圣维南（合力）边界条件应力法的控制微分方程和边界条件初始边界条件转换边界条件边界条件转换非齐次应力平衡微分方程常体力相容方程特解非齐次方程通解=齐次方程通解+非齐次方程特解齐次平衡微分方程应力函数（1）应力函数（2）叠加特解①φ：艾里应力函数应力函数（3）应力表示的相容方程应力函数满足双调和方程，是双调和函数！！！应力函数表示的相容方程XYaa多项式应力函数的逆解法一阶多项式悬

7、臂梁的弯曲上、下边界是主要边界，边界条件必须精确满足左、右端边界条件不能精确满足可用圣维南原理右端面其余部分的边界条件在积分意义下自动满足位移121233（a）（b）（a）（b）简支梁的弯曲应力函数应力分量利用对称性和应力边界条件上、下边界条件右端边界条件习题3-2习题3-4习题3-7习题3-10习题3-13习题3-14习题已知应力函数试求图示几种形状平板上的面力（不计体积力）习题3-2图示薄板，在x方向承受拉伸荷载，在板的中部有一凸起，试证明尖点A处应力为零习题3-4按平面问题证明，与应变无关的位移，即是刚体位移习题

8、3-7如图所示矩形截面简支梁，受三角形分布荷载作用。试检验应力函数能否成立，若成立求出应力分量。习题3-10矩形截面柱(密度为ρ)的侧面作用着均布剪力q，如图所示，试求应力分量。习题3-13如图所示三角形悬臂梁，材料比重为ρg。试用纯三次式的应力函数求应力分量。习题3-14