弹性力学 第六章 平面问题的直角坐标解法.ppt

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1、第六章平面问题的直角坐标解答弹性力学平面问题分为平面应力问题和平面应变问题两个组成部分。本章讨论直角坐标系中的平面问题，引入了应力函数，使基本方程化为重调和方程。通常的求解方法是半逆解法。次要边界的边界条件一般通过圣维南原理进行简化。第一节平面应力问题第二节平面应变问题第三节应力解法第四节用多项式解平面问题第六节实例第五节三角级数方法第一节平面应力问题平面应力问题：当所研究的物体某一个坐标方向的尺寸远小于其他二个坐标方向尺寸。如平板。平面应变问题：当研究的物体，其一个坐标方向的尺寸远大于其他二个坐标方向的尺寸，如挡水坝。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。第一节平面应力

2、问题平面应力：等厚度薄板，承受平行于板平面（0xy）并且不沿厚度方向（oz轴）变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。在板的两表面上不承受外力作用，既有：（右图示）因弹性力学中所研究的为薄板，故在板的内部应力显然很小，可认为：应力状态为以上性质的问题，称为平面应力问题。平面应力问题的应变分量具有以下特点：而平衡微分方程为：几何方程为：应变协调方程为：物理方程为：平面应力问题的基本方程根据上述过程得到的变形协调方程（应力表示）,即平面应力问题的密切尔相容方程：再加上两个应力平衡方程就构成了平面应力问题的基本方程。平面问题的应力边界条件为:px=l1σx+l2τyxp

3、y=l1τxy+l2σy对于平面问题，如果满足了平衡微分方程和相容方程，以及应力边界条件，在单连体的条件下，应力分量就完全确定了，在多连体的情况下，还应满足位移的单值条件。边界条件：由于位移边界条件一般难以化为应力边界条件，因此只能解应力边界条件，不能解位移边界和混合边界条件。平面应变：很长的柱体，在柱面上承受平行于板面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿长度变化。εz=0τxz=0τyz=0一般σz不等于零。x第二节平面应变问题平面应变问题与平面应力问题的关系平面应变：代入胡克定律中，得到由可得平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式存在如下的变换关系平

4、面应力中的关系式:由于这种相似性，在解平面应变问题时，可把对应的平面问题的方程和解答中的弹性常数进行代换，就可得到相应的平面应变问题的解。平面应变中的关系式:作代换就可得到平面应变问题的应力应变关系式:第三节应力函数法取应力函数φf，并令则它们将自动满足两个平衡微分方程：同时，还应满足相容方程，将其代入相容方程在常体力情况下，得到应力函数φf应满足的方程：于是可见应力函数应当是重调和函数。现在的问题是求解上述方程的边值问题。它的解答一般都不可能直接求出，在解决具体问题时，只能采用逆解法、半逆解法。逆解法，就是先设定满足相容方程的应力函数φf逆解法求出应力分量，再根据应力边界

5、条件决定在各种形状的弹性体上，这些应力分量对应的面力，倒过来承受对应面力的弹性问题的应力解就是所设的应力函数和根据它们求出的应力分量。然后根据例函数φf=ay3为三次函数，显然满足相容方程，相应的应力分量为σx=6ayσy=0τxy=τyx=0对应下列形状的的矩形梁，对应的面力如下：对应的面力在两侧必须是线性分布的，上述应力分量才是完全精确的，如果按照其他静力等效的分布形式，上述分量的解答不是精确的，但是，当梁的高度较小时，梁的上下边界为主要边界，两端边界成为次要边界，这时，根据圣维南原理，该解答在离两端较远处仍是正确的。圣维南原理处理边界条件时，起着十分重要的作用。处理时

6、要分清主要边界和次要边界。如当两端的面力的等效力系组成大小为ah3/2的力偶时，该解答在离两端较远的地方，误差是可以忽略不计的。半逆解法半逆解法针对求解的问题根据弹性体的边界条件形状和受力情况，假定部分或全部应力分量为某种函数，将原来的偏微分方程化为常微分方程，推出应力函数的全部表达式，试解该方程，如果各方面的条件都能满足，就得到了正确的解答，否则，就要另作假设，重新考虑。逆解法的用途十分有限，半逆解法是弹性力学基本方程的主要方法，其中的关键是如何根据问题的特点确定试函数的形状，如对称性，量纲等，对于梁类问题可根据材料力学的知识确定。对x积分得：其中f1(y)和f2(y)为

7、待定函数。例q是不随x变化的常量，因此可假设σy不随x变化，仅是y的函数：代入相容方程这是关于x的二次方程，因为对任意x都应成立，x的系数和自由项应为零：积分上述方程，得到应力函数代入方程得应力分量其中的常数应根据边界条件确定，在确定之前考虑y轴为梁和荷载的对称面，σx和σy应当是x的偶函数，τxy应当是x的奇函数，因此应当有E=F=G=0主要边界为梁的上下边，应力边界条件是次要边界为梁的两端，这里不能要求σx=0，只能按圣维南原理进行处理，其合力为零，对截面形心的合力矩为零，在x=l处：对切应力的分布不作要求，只