《弹塑性力学》第七章 弹性力学平面问题的极坐标系解答ppt课件.ppt

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1、§7-1平面极坐标下的基本公式第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答§7-2轴对称问题§7-3轴对称应力问题——曲梁的纯弯曲§7-4圆孔的孔边应力集中问题§7-5曲梁的一般弯曲§7-6楔形体在楔顶或楔面受力9/7/20211在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物体采用极坐标(r,)来解，因为此时边界条件用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及算例。9/7/20212§7-1平面极坐标下的基本公式采用极坐标系则平面内任一点的物理量为r,函数。xyoPr体力：fr=Kr,f=K面力：应力：r,,r=r

2、应变：r,,r=r位移：ur,u9/7/20213§7-1平面极坐标下的基本公式直角坐标与极坐标之间关系:x=rcos,y=rsin9/7/20214§7-1平面极坐标下的基本公式1.1平衡微分方程9/7/20215§7-1平面极坐标下的基本公式1.2几何方程1.3变形协调方程9/7/20216§7-1平面极坐标下的基本公式1.4物理方程平面应力问题：平面应变问题将上式中，，即得。9/7/20217§7-1平面极坐标下的基本公式1.5边界条件1.位移边界条件：，（在su上）2.力的边界条件：（在s上）9/7/20218§7-1平面极坐标下的基本公式1.5边界条件环向边

3、界（r=r0）径向边界（=0）（在s上）9/7/20219§7-1平面极坐标下的基本公式1.6按位移法求解基本未知函数为位移ur,u，应变、应力均由位移导出。平面应力问题时的应力由位移表示：9/7/202110§7-1平面极坐标下的基本公式1.6按位移法求解9/7/202111§7-1平面极坐标下的基本公式上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。力的边界条件也同样可以用位移表示。9/7/202112§7-1平面极坐标下的基本公式1.7按应力法求解在直角坐标系中按应力求解的基本方程为(平面应力问题）其中9/7/202113§7-1平面极坐标下的基本公式

4、在极坐标按应力求解的基本方程为（平面应力问题）其中力的边界条件如前所列。9/7/202114§7-1平面极坐标下的基本公式1.8应力函数解法当体力为零fr=f=0时,应力法基本方程中的应力分量可以转为一个待求的未知函数(r,)表示,而应力函数(r,)所满足方程为4(r,)=0或9/7/202115§7-1平面极坐标下的基本公式而极坐标系下的应力分量r,,,r由(r,)的微分求得,即：9/7/202116§7-2轴对称问题2.1轴对称问题的特点1.截面的几何形状为圆环、圆盘。2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体积力分量f=0；在边界上r=r0：，（沿环向的

5、受力和约束为零）。3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴对称的：9/7/202117§7-2轴对称问题在V内u=0，r=0，r=0,ur=ur(r)，r=r(r),=(r),r=r(r),=(r)。各待求函数为r的函数（单变量的）9/7/202118§7-2轴对称问题2.2 轴对称平面问题的基本公式1.平面微分方程（仅一个）：2.几何方程（二个）：9/7/202119§7-2轴对称问题3.变形协调方程（一个）：——变形协调方程9/7/202120§7-2轴对称问题3.变形协调方程（一个）：——变形协调方程由几何方程：或9/7/202121§7-2轴对称问题

6、4.物理方程(两个)平面应力问题或平面应变问题时弹性系数替换。9/7/202122§7-2轴对称问题5.按位移法求解将r、用ur表示，并代入平衡微分方程，对于平面应力问题9/7/202123§7-2轴对称问题5.按位移法求解位移法的基本方程为：9/7/202124§7-2轴对称问题相应边界条件：轴对称问题边界r=r0（常数）位移边界条件：（在su上）力的边界条件：（在s上）平面应力问题的力边界条件用位移表示：9/7/202125§7-2轴对称问题6.按应力法解当ur由基本方程和相应边界条件求出后，则相应应变、应力均可求出。（在s上）9/7/202126§7-2轴对称问题应力法基本

7、方程9/7/202127§7-2轴对称问题边界条件为力的边界条件：（在s上））其中9/7/202128§7-2轴对称问题7.按应力函数求解当无体力时应力法基本方程为：选取应力函数=(r)——单变量的函数9/7/202129§7-2轴对称问题应力分量与(r)的关系：自然满足平衡微分方程，则应力函数(r)应满足的基本方程为相容方程，即9/7/202130§7-2轴对称问题或——四阶变系数的微分方程（尤拉方程）9/7