弹塑性力学讲义 第六章弹性力学平面问题的直角坐标系解答

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1、第六章弹性力学平面问题的直角坐标系解答在第五章讨论了弹性力学问题的基本解法：位移法和应力法，并结合简单的三维问题，根据问题的特点，猜想问题的应力解或位移解，并验证猜想的解是否满足应力法或位移法的基本方程和边界条件，满足则为问题真解。弹性体都是三维的，而受力（外力）一般也是空间力系，但如果所研究弹性体具有某种特殊形状。例如：一个方向的尺寸远比其他两个方向的尺寸大的多或小的多，并且承受某种特殊规定的外力和约束，则可以把空间问题（三维）作为近似的平面问题（二维）处理，这将使分析和计算大大简化，而所得结果也能满足工程上对精度的要求。第1节平

2、面问题的分类平面问题在工程中极为常见，而且平面问题的解析解在整个弹性力学解析解中占有较大比重。因此必须给予足够的重视。平面问题分为平面应力问题和平面应变问题两类。下面将它们分类简要说明一下。1.1平面应力问题固体的形状特点：x2物体一个方向尺寸比其它两个方向尺寸小的多（等厚度薄板）。xx32tx1o1受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分布，体力f3=fz=0,面力X3Z0，在薄板表面无面力，坐标系（x1,x2,x3）放在板厚中间平面——中平面，以z(或x3）轴垂直板面。满足上述条件的问题称为平面应力问题。由物体几何特点和受力

3、特点知：t在z处，XYZ0z=zx=zy=0。2由于薄板很薄，表面三个应力分量为零，则近似认为在V内认为z=zx=zy=0。平面应力问题：应力分量仅存三个x=x(x,y),y=y(x,y),xy=xy(x,y),均为x,y的函数，待求。将应力分量代入各向同性材料的本构关系存在四个应变分量(待求量)：x,y,xy,z（其中z不独立）位移分量待求量：u(x,y),v(x,y)（考虑平面内位移）.平面应力问题待求未知函数一共八个：3个应力＋3个应变＋2个位移1.2平面应变问题形状特点：物体一个

4、方向尺寸（z或x3）比其它两个方向（x,y或x1,x2）大的多，如水坝、涵洞。x1(x)x3(z)x2(y)2受力和约束情况：沿z(或x3）轴方向无变化，体力f3=fz=0，面力X3Z0，这样x3=z=const面均可看成对称面，对称结构受对称荷载和约束，则此对称面处的位移和变形为零，即w=0(z=0),zx=zy=0所以平面应变问题：应变分量仅有三个x,y,xy=yx，位移分量两个：u(x,y),v(x,y)，应力分量：x,y,xy,z（其中z不独立）。平面应变问题待求未知函数仍然八个：3应力＋3应变＋

5、2位移。第2节平面问题的基本方程和边界条件2.1平衡微分方程（2个）两个平面问题一致：,+f=0,,=1,2xyxxyyX0，Y0xyxy2.2几何方程（3个）1(uu)两平面问题一致：,,2uvuvxyxyx,y，yx2.3相容方程（1个）222xyxy两平面问题一致：22yxxy3222zzz对于平面应力问题还应有20，20，0，xyxy但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以不考虑。2.

6、4本构方程（3个）平面应力问题112(1)x(xy)，y(yx)，xyxyEEE平面应变问题22(1)(1)x(xy)，y(yx)，E1E12(1)xyxyE两个平面问题的基本方程仅物理方程有所不同，将平面应力物理方程E中弹性系数E，，则平面应力问题的物理方程变为平面211应变问题的物理方程。所以按平面应力问题求解的结果中弹性系数也如此替换，则可得到平面应变问题解。2.5边界条件位移边界条件：uu(=1,2）uu，vv在S

7、u上力的边界条件：XnXlxmyx，Ylxymy在S上第3节平面问题的基本解法43.1位移法基本未知函数：u(x,y),v(x,y)基本方程两个：用u,v表示的平衡微分方程。21GuGuf0平面应力问题：,1222其中22xy21GuGuf0平面应变问题：,12边界条件：位移边界uu，vv在Su上力的边界Xlxmyx，Ylxymy在S上（应力需要用位移微分表示）3.2应力法基本未知函数（3个）：x,y,xy=yx

8、,基本方程（3个）：2个平衡微分方程,+f=01个相容方程：平面应力问题时2fxfy(xy)(1)()xy21fxfy()平面应变问题时xy()1xy力边界条件：Xn