弹塑性力学讲义 第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答

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1、第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物体采用极坐标(r,)来解，因为此时边界条件用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及算例。第1节平面极坐标下的基本公式采用极坐标系则平面内任一点的物理量为r,函数。体力：fr=Kr,f=Ko面力：KF,KFxrrr应力：r,,r=rP应变：r,,r=ry位移：ur,u直角坐标与极坐标之间关系:x=rcos,y=rsinrs

2、incosxrxxrrrcossinyryyrr1.1平衡微分方程11rr()f0rrrrr12rrf0rrr11.2几何方程urur1u1uruur，，rrrrrrr1.3变形协调方程2221111rr222(r)2(rr)0rrrrrrr1.4物理方程平面应力问题：112(1)r(r

3、)，(r)，rrEEEE平面应变问题将上式中E2，即得。111.5边界条件1.位移边界条件：urur，uu在su上2.力的边界条件：cos(n,r)cos(n,s)KFrrrrcos(n,r)cos(n,s)KFrr在s上环向边界n//r:rKr,rK（r=r0）径向边界n//s(nr):θrKr,K（=0）1.6按位移法求解基本未知函数为位移ur,u，应变、应力均由位移导出。2平

4、面应力问题时的应力由位移表示EEur1uur()()r2r211rrrEE1uuurr()()2r211rrrEE1uuur()rr2(1)2(1)rrr上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。r1r(r)K0rrrr,12rrK0rrr力的边界条件也同样可以用位移表示。1.7按应力法求解在直角坐标系

5、中按应力求解的基本方程为（平面应力问题）xxyfx0xyxyyfy0xy2fxfy()(1)()xyxy222＝其中22xy3在极坐标按应力求解的基本方程为（平面应力问题）r1rrf0rrrrr12rf0rrr2()(1)(fr1ffr)rrrr22211其中＝222rrrr力的边界条件如前所列。1.8应

6、力函数解法当体力为零fr=f=0时,应力法基本方程中的应力分量可以转为一个待求的未知函数(r,)表示,而应力函数(r,)所满足方程为221124((r,)=0或22)0rrrr而极坐标系下的应力分量r,,r由(r,)的微分求得,即：2211r22，2，rrrr2111()rr2rrrrr第2节轴对称问题2.1轴对称问题的特点1.截面的几何形状为圆环、圆盘。2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体积力

7、分量f=0；在边4界上r=r0：F0,u0（沿环向的受力和约束为零）。3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴对称的：在V内u=0，r=0，r=0,ur=ur(r)，r=r(r),=(r),r=r(r),=(r).各待求函数为r的函数（单变量的）。2.2轴对称平面问题的基本公式drrf01.平面微分方程（仅一个）：rrrduurr2.几何方程（二个）：r，drr3.变形协调方程（一个）：2221r111r(r)(r)0222r2r

8、rrrrrr21d1dr(r)02rdrrdrd(r)r——变形协调方程drddurru(r)由几何方程：rrdrdrdr或drr4.物理方程(两个)511()()平面应力问