李同林 弹塑性力学 第六章 平面问题极坐标解答

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1、第六章平面问题极坐标解答§6—1平面问题基本方程的极坐标表示极坐标系与直角坐标系间的关系式如图6—1所示。；；；（a）1.平衡微分方程我们在物体中取一单位厚度的微分体abcd，如图6—2所示，其在，方向的体力分量分别为，。该微分单元体abcd的中心角为，内半径为r，外半径为r+dr。列出平衡方程和，即29（b）（c）由于是个小量，故取，及，并略去三阶以上微量，整理后可得：（6—1）式（6—1）第一式中及项为面积增大及方向变化而引起的，第二式中的项则两者兼有之。再由（C为微分体形心），并略去高阶微量，将再次证得剪应力互等定理成立：。2.几何方程在极坐标中，用u，

2、v分别代表点的径向位移和切向位移，即为极坐标的位移分量。用、分别代表径向正应变和切向正应变，用、代表剪应变。它们都是位置坐标，的函数。29图6—3根据小变形条件，位移均为微量，在导出的过程中都略去高阶微量，不计的偏转对其长度的影响。于是由图6—3可得微元体的各应变分量。（d）（e）（f）在上几式中，由于故，，，故，于是在计算中均可略去。因此，用极坐标表示的几何方程则为：；；（6—2）式（6—2）第二式中项为径向位移使半径增大而引起的弧长增大部分；第三式的项为由于切向位置移动使径向半径偏斜而引起的整体刚性角位移，应予减去。293.本构方程（Hooke定律）由于极

3、坐标系也是正交坐标系，所以用极坐标表示的Hooke定律与用直角坐标表示的形式不变。显然由于局部一点的坐标仍是一个直角坐标系。因而只需将用直角坐标系表示的公式中的x、y分别换成、即可。于是有：（1）平面应力问题（6—3）用应力分量表示应变分量，则为：；；（6—4）（2）平面应变问题：（6—5）若用应力分量表示应变分量，则为：；；（6—6）4.极坐标中的应力函数和应变协调方程平面问题直角坐标系中，当无体积力、或体积力为常量时，由式（5—15）及式（5—18），可用应力或应力函数表示的连续性方程分别为29和（g）下面我们将上列方程变换成用极坐标表示的形式。据式（a）

4、得：；（h）现求应力函数对x及y的微分：；（i）按照式（i）和（j），则有（j）可得出的二阶偏微分：也即：(k)应用上式（k）中第一及第二式相加，并利用三角公式得（l）29因此，按照上式，在极坐标中用应力函数表示的应变协调方程可表示为下式：（6—7）此式即为极坐标中平面问题的双调和方程。若将此式展开，可得：（6—8）此外根据坐标的几何条件式（6—2），采用导出直角坐标应变协调方程的方法，则可以得出以应变表示的所应满足的应变协调方程为：（6—9）为在极坐标中将各应力分量用应力函数表示，可使x轴与r轴重合，y轴与轴重合（参考图6—1），也就是使=0，则：（m）应用

5、式（k），并令式中=0，得29（6—10）若将上式代入平衡方程（6—1）将自动满足。这就是极坐标中用应力函数表示应力分量的表达式。§6—2平面问题的极坐标解法·极坐标轴对称问题一、求解步骤与应力边界条件在极坐标中，弹性力学边值问题的解法仍然归结为寻求一个应力函数，它除了必须满足双调和方程式（6—7）以外，还应由式（6—10）求得的应力分量满足应力边界条件。根据极坐标的基本方程，其求解问题（应力法）的步骤为：1）确定体力面力；2）选取以待定系数表示的应力函数；3）写出应力分量的表达式，根据应变协调方程和应力边界条件确定待定常数。二、轴对称平面问题如果应力分布对称

6、于o点且垂直于平面的垂直轴：z轴，应力分量不依赖于，而只是r的函数，则称为应力分布轴对称问题。由于对称，必定是零。这时平衡微分方程式（6—1）变为：（不计体力）29（6—11）当应力分布轴对称的同时，如果位移也是轴对称的，则称为完全轴对称问题。对于平面问题则为完全轴对称平面问题。由于轴对称，这时有，于是几何方程式（6—2）变为：；；=0（6—12）对于应力分布轴对称或完全轴对称问题，其应力分量都由式（6—10）得：；；（6—13）同时，双调和方程（6—7）可以简化为（6—14）这是一个变系数微分方程，也称为Euler方程。将方程（6—14）化为常系数性微分方程

7、，可引入一个新的参数t，并令：于是可得：（a）（b）（c）（d）将上列各式代入式（6—14）则有：（e）其特征方程为：，29或（f）这个方程有两个重根，则K=0，K=2，与重根对应的积分为：，；，；所以式（a）的通解为（g）将代入，则上述通解可改写为：（6—15）将式（6—15）代入应力分量表达式（6—13）得，（6—16）式中的待定系数A，B，C可根据具体问题所给定的边界条件予以确定。下节我们举厚壁圆筒问题为例。§6—3厚壁圆筒问题的弹性解考察一厚壁圆筒，管内外沿轴向受均匀分布径向压力和（图6—5），其内外半径分别为a和b。厚壁筒一般认为b∶a＞1.1。管子

8、长度很长，以致可以认为离两端足够远处的