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《2012年高考数学真题分类汇编D 数列（理科）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、D 数列D1数列的概念与简单表示法21．D1、D3、E1、M3[2012·重庆卷]设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0.(1)求证：{an}是首项为1的等比数列；(2)若a2＞－1，求证：Sn≤(a1＋an)，并给出等号成立的充要条件．21．解：(1)证法一：由S2＝a2S1＋a1得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1.因a2≠0，故a1＝1，得＝a2.又由题设条件知Sn＋2＝a2Sn＋1＋a1，Sn＋1＝a2Sn＋a1，两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝a2(Sn＋1－Sn)，即a
2、n＋2＝a2an＋1，由a2≠0，知an＋1≠0，因此＝a2.综上，＝a2对所有n∈N*成立，从而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．证法二：用数学归纳法证明an＝a，n∈N*.当n＝1时，由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a2a1＋a1，即a2＝a2a1，再由a2≠0，得a1＝1，所以结论成立．假设n＝k时，结论成立，即ak＝a，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(a2Sk＋a1)－(a2Sk－1＋a1)＝a2(Sk－Sk－1)＝a2ak＝a，这就是说，当n＝k＋1时，结论也成立．综上可得，对任意
3、n∈N*，an＝a.因此{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．(2)当n＝1或2时，显然Sn＝(a1＋an)，等号成立．设n≥3，a2＞－1且a2≠0，由(1)知a1＝1，an＝a，所以要证的不等式化为1＋a2＋a＋…＋a≤(1＋a)(n≥3)，即证：1＋a2＋a＋…＋a≤(1＋a)(n≥2)．当a2＝1时，上面不等式的等号成立．当－1＜a2＜1时，a－1与a－1(r＝1,2，…，n－1)同为负；当a2＞1时，a－1与a－1(r＝1,2，…，n－1)同为正．因此当a2＞－1且a2≠1时，总有(a－1)(a－1)＞0，
4、即a＋a＜1＋a(r＝1,2，…，n－1)．上面不等式对r从1到n－1求和得2(a2＋a＋…＋a)＜(n－1)(1＋a)，由此可得1＋a2＋a＋…＋a＜(1＋a)．综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立．证法二：当n＝1或2时，显然Sn≤(a1＋an)，等号成立．当a2＝1时，Sn＝n＝(a1＋an)，等号也成立．当a2≠1时，由(1)知Sn＝，an＝a，下证：＜(1＋a)(n≥3，a2＞－1且a2≠1)．当－1＜a2＜1时，上面不等式化为(n－2)a＋na2－na
5、＜n－2(n≥3)．令f(a2)＝(n－2)a＋na2－na.当－1＜a2＜0时，1－a＞0，故f(a2)＝(n－2)a＋na2(1－a)＜(n－2)
6、a2
7、n＜n－2，即所要证的不等式成立．当0＜a2＜1时，对a2求导得f′(a2)＝n[(n－2)a－(n－1)a＋1]＝ng(a2)．其中g(a2)＝(n－2)a－(n－1)a＋1，则g′(a2)＝(n－2)(n－1)(a2－1)a＜0，即g(a2)是(0,1)上的减函数，故g(a2)>g(1)＝0，从而f′(a2)＝ng(a2)>0，进而f(a2)是(0,1)上的增函
8、数，因此f(a2)＜f(1)＝n－2，所要证的不等式成立．当a2＞1时，令b＝，则0＜b＜1，由已知的结论知＜，两边同时乘以a得所要证的不等式．综上，当a2＞－1且a2≠0时，有Sn≤(a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号成立．23．M2、D1[2012·上海卷]对于数集X＝{－1，x1，x2，…，xn}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定义向量集Y＝{a
9、a＝(s，t)，s∈X，t∈X}，若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得a1·a2＝0，则称X具有性质P，例如{－1,1,2}具有性质P.(1)若x＞
10、2，且{－1,1,2，x}具有性质P，求x的值；(2)若X具有性质P，求证：1∈X，且当xn＞1时，x1＝1；(3)若X具有性质P，且x1＝1、x2＝q(q为常数)，求有穷数列x1，x2，…，xn的通项公式．23．解：(1)选取a1＝(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(－1，b)，所以x＝2b，从而x＝4.(2)证明：取a1＝(x1，x1)∈Y，设a2＝(s，t)∈Y，满足a1·a2＝0.由(s＋t)x1＝0得s＋t＝0，所以s，t异号．因为－1是X中唯一的负数，所以s，t之中一个为－1，另一个为1，故1∈X.假设
11、xk＝1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜xn.选取a1＝(x1，xn)∈Y，并设a2＝(s，t)∈Y满足a1·a2＝0，即sx1＋txn＝0，则s，t异号，从而s，t之中恰有一个为－1.若s＝－1，则x1＝txn＞t＞x1，矛盾；若t＝－1，则xn＝sx1＜s≤xn，矛盾．所以x1＝1.(3)设a1＝(s1，t1)
