2015年高考数学（理科）真题分类汇编D单元　数列.doc

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1、数学D单元　数列D1数列的概念与简单表示法20．D1、E7[2015·浙江卷]已知数列{an}满足a1＝且an＋1＝an－a(n∈N*)．(1)证明：1≤≤2(n∈N*)；(2)设数列{a}的前n项和为Sn，证明：≤≤(n∈N*)．20．证明：(1)由题意得an＋1－an＝－a≤0，即an＋1≤an，故an≤.当n≥2时，由an＝(1－an－1)an－1得，an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a1>0.由0

2、由－＝和1≤≤2得1≤－≤2，所以n≤－≤2n，因此≤an＋1≤(n∈N*)．②由①②得，≤≤(n∈N*)．D2等差数列及等差数列前n项和10．D2[2015·广东卷]在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________．10．10　[解析]a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，∴a5＝5，∴a2＋a8＝2a5＝10.18．D2、D3、D4、D5[2015·湖北卷]设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝1

3、00.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.18．解：(1)由题意有，即解得或故或(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②①－②可得Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，故Tn＝6－.20．D2、D3、D5[2015·江苏卷]设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列．(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构

4、成等比数列？并说明理由．(3)是否存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由．20．解：(1)证明：因为＝2an＋1－an＝2d(n＝1，2，3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列．(2)令a1＋d＝a，则a1，a2，a3，a4分别为a－d，a，a＋d，a＋2d(a>d，a>－2d，d≠0)．假设存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列，则a4＝(a－d)(a＋d)3，且(a＋d)6＝a2(a＋2d)4.令t＝，则1＝(1－t)(1＋t)3，且(1＋t)

5、6＝(1＋2t)4，化简得t3＋2t2－2＝0(*)，且t2＝t＋1.将t2＝t＋1代入(*)式，得t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t＝4t＋1＝0，则t＝－.显然t＝－不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列．(3)假设存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列，则a(a1＋2d)n＋2k＝(a1＋d)2(n＋k)，且(a1＋d)n＋k(a1＋3d)n＋3k＝(a1＋2d)2(n＋2k)．分别在两个等式的两边同除以a及a，并令

6、t＝，则(1＋2t)n＋2k＝(1＋t)2(n＋k)，且(1＋t)n＋k(1＋3t)n＋3k＝(1＋2t)2(n＋2k)．将上述两个等式两边取对数，得(n＋2k)ln(1＋2t)＝2(n＋k)ln(1＋t)，且(n＋k)ln(1＋t)＋(n＋3k)ln(1＋3t)＝2(n＋2k)ln(1＋2t)，化简得2k[ln(1＋2t)－ln(1＋t)]＝n[2ln(1＋t)－ln(1＋2t)]，且k[3ln(1＋3t)＋ln(1＋t)－4ln(1＋2t)]＝n[2ln(1＋2t)－ln(1＋t)－ln(1＋3t)]．再将这两式相除，化

7、简得ln(1＋3t)ln(1＋2t)＋3ln(1＋2t)ln(1＋t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)(**)．令g(t)＝4ln(1＋3t)ln(1＋t)－ln(1＋3t)ln(1＋2t)－3ln(1＋2t)ln(1＋t)，则g′(t)＝.令φ(t)＝(1＋3t)2ln(1＋3t)－3(1＋2t)2ln(1＋2t)＋3(1＋t)2ln(1＋t)，则φ′(t)＝6[(1＋3t)ln(1＋3t)－2(1＋2t)ln(1＋2t)＋(1＋t)ln(1＋t)]．令φ1(t)＝φ′(t)，则φ′1(t)＝6[3ln(1＋3t)－4l

8、n(1＋2t)＋ln(1＋t)]．令φ2(t)＝φ′1(t)，则φ′2(t)＝>0.由g(0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t)>0，知φ2(t)，φ1(t)，φ(t)，g(t)在和(0，＋∞)上均单调．故g(t)只有唯一零点t＝0，即方程(**)只有唯一解t＝0，故假设