中考数学专题复习练习：矩形菱形.doc

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1、典型例题一例01．如图，已知：在矩形ABCD中，E在DC上，且.求：的度数.分析：因为四边形ABCD是矩形，我们可以得到4个直角和2对相等的线段.那么因为有，可求出的度数.因而可求出的度数.再由已知条件可求出的度数.则也可求出的度数.解答：四边形ABCD是矩形∴在中，∵（已知），∴∴∵（已知），∴∴典型例题二例题02如图1，矩形中，，交于，矩形的周长为22，求的长．分析要求的长，必须求出的长，由，，可证明△≌△，这样就可证得，利用矩形的周长及的长，就可是求出的长．解∵四边形是矩形，∴∵∴∴∵图1∵在△和△中∴△≌△，∴∵∴在△中．典型例题三例

2、题03如图1，在矩形中，，，为的中点，，垂足为，且，，求的长．分析利用△的面积与矩形的面积之间的关系可求出，所以要连结．解连结∵四边形是矩形∴图1∴在△中，∵∴∵，，∴．典型例题四例题04．如图，已知：在矩形ABCD中，DF平分，交AC于E，交BC于F，.求：和的度数.分析：四边形ABCD是矩形，那么它的两条对角线把它分成了四个直角三角形和四个等腰三角形.由已知DF平分可得，∴.又∵有，∴是等边三角形，∴，，∴.在中，，，故，∴是以为顶角的等腰三角形，因此可求得的度数.解答：∵DF平分直角，∴∴又∵（矩形的对角线相等且互相平分），∴是等边三角

3、形.∴，，.又∵在中，，∴∴∴∴，说明矩形的对角线总可以将矩形化为直角三角形和等腰三角形，解题时要注意利用这些特殊三角形的性质.典型例题五例05．已知：如图，矩形ABCD，延长CB到E，使，F是AE的中点.求证：.证法1如图，连结CF.∵，F为AE中点，∴∴在矩形ABCD中，.∴∵F为AE的中点，∴∴∴，即在和中，∵，∴∴∴即∴证法2如图，延长DA交BF的延长线于点G，连结BD.在矩形ABCD中，∵F是AE的中点，∴易证∴则∴∵，∴.即是等腰三角形.∵∴说明根据条件添加辅助线是关键典型例题六例题06如图1，中，以为斜边作△，又为直角．求证：四

4、边形是矩形。分析因为平行四边形的对角线互相平分，所以点既是△斜边的中点，又是△斜边的中点，因此连结，不难证明．图1证明连结∵四边形是平行四边形，∴∵△是直角三角形，∴同理：，∴又∵四边形是平行四边形∴四边形是矩形．典型例题七例07．求证：平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.已知：如图，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H.求证：四边形EFGH为矩形.证明：∵四边形为平行四边形.∴.∴∵BE，CE分别为，的平分线，∴，.∴∴同理可证：∵，∴∴四边形EFGH为矩形.说明本题考查矩形的判定定理，易错点是忽视写已知和求证.解题

5、关键是证四边形的三个角是直角.典型例题八例08．（山西省，2000）已知：如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，，，求的面积.解答：在矩形ABCD中，，∴当矩形ABCD沿着直线BD折叠后，与关于直线BD对称.∴∴∴.作于F，则设.∵，∴在中，∴在中，∴∴说明本题是矩形的折叠问题，易错点是对是等腰三角形认识不足，解题关键是对折叠后的几何形状要有一个正确的分析.典型例题九例09求证等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于定值．已知：如图1，在△中，，为上任意一点，，，垂足分别为、．求证：是定值．分析这种例题首先要探求

6、出这个定值，由于是底边上一个动点，那么它的极端位置当然是在端点上了，不妨设点运动到点，此时，为腰上的高（高是不变量）那么下面就只须证明等于一腰上的高就可以了．证法一如图1，连结，过点作，垂足为．∵．，又∵，图1∴∵∴即为定值．证法二如图2，过点作，垂足为，过点作，垂足为．∵，，∴∴四边形是矩形．∴，∴∵∴∴图2∵，∴在△和△中∴△≌△∴∴即为定值．证法三如图3，过点作，垂足为，过点作交的延长线于．∵，，∴∴四边形是矩形，∴，，∴∵∴，∴∵∴∴图3在△和△中∴△≌△∴∴即为定值．说明证法（一）用三角形的面积公式求解，此法新颖、简捷．由此可见三角

7、形的高不离积（面积），有关三角形的高（高的长度）的问题可以考虑用面积法探索其解（证）法．典型例题十例10．如图，已知：在菱形ABCD中，于E，于F.求证：.分析：要证明，可以先证明.则根据菱形的有关性质不难证出，从而可以证得本题.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴（菱形的四条边相等），（菱形的对角相等）.在和中，∴∴（全等三角形的对应边相等）又∵（菱形的四条边都相等）∴，即典型例题十一例11．已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，，，求的度数.解答：连结AC.∵四边形ABCD为菱形，∴，.∴与为等边三角形.∴∵，∴∴∴∵，

8、∴为等边三角形.∴∵，∴∴说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC，证.典型例题十二例12．如图，在中，，AD是角平分线，CH是高，交AD于F，于E