高斯公式和斯托克斯公式分析课件.ppt

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1、11.6高斯公式和斯托克斯公式一、高斯公式二、斯托克斯公式三、通量与散度四、环流量与旋度一、高斯公式定理11.7高斯公式11.6高斯公式和斯托克斯公式。证明11.6高斯公式和斯托克斯公式根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法11.6高斯公式和斯托克斯公式。11.6高斯公式和斯托克斯公式。同理------------------高斯公式合并以上三式得：11.6高斯公式和斯托克斯公式。Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知11.6高斯公式和斯托克斯公式例1解.故11.6高斯公式和斯托克斯公

2、式例2解11.6高斯公式和斯托克斯公式。(利用柱面坐标得)11.6高斯公式和斯托克斯公式使用Guass公式时应注意:11.6高斯公式和斯托克斯公式例311.6高斯公式和斯托克斯公式解曲面不是封闭曲面,为利用高斯公式空间曲面在面上的投影域为11.6高斯公式和斯托克斯公式。11.6高斯公式和斯托克斯公式。故所求积分为11.6高斯公式和斯托克斯公式定理11.8设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,的侧与的正向符合右手法则,二、斯托克斯公式(斯托克斯公式)在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数,在包含则有11.6高斯公式和斯托克斯公式证明是有向曲面的正向边界曲线右手法则如

3、图11.6高斯公式和斯托克斯公式思路：曲面积分二重积分曲线积分1211.6高斯公式和斯托克斯公式。111.6高斯公式和斯托克斯公式根椐格林公式平面有向曲线2空间有向曲线11.6高斯公式和斯托克斯公式同理可证：故有结论成立.11.6高斯公式和斯托克斯公式便于记忆形式：另一种形式11.6高斯公式和斯托克斯公式Stokes公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式格林公式特殊情形11.6高斯公式和斯托克斯公式例4解11.6高斯公式和斯托克斯公式11.6高斯公式和斯托克斯公式例5解按斯托克斯公式,有11.6高斯公式和斯托克

4、斯公式。11.6高斯公式和斯托克斯公式三、通量与散度1.通量:11.6高斯公式和斯托克斯公式上侧的磁通量，其中为上半球面例6设磁场中磁感应强度求其通过解所求的磁通量为设取下侧，11.6高斯公式和斯托克斯公式则由高斯公式得11.6高斯公式和斯托克斯公式2.散度:11.6高斯公式和斯托克斯公式散度在直角坐标系下的形式积分中值定理,两边取极限,11.6高斯公式和斯托克斯公式高斯公式可写成11.6高斯公式和斯托克斯公式例7求向量场在下列各点处的散度，其中解则故11.6高斯公式和斯托克斯公式四、环流量与旋度1.环流量11.6高斯公式和斯托克斯公式2.旋度:利用stok

5、es公式,有11.6高斯公式和斯托克斯公式。11.6高斯公式和斯托克斯公式斯托克斯公式的又一种形式其中11.6高斯公式和斯托克斯公式斯托克斯公式的向量形式其中11.6高斯公式和斯托克斯公式Stokes公式的物理解释:11.6高斯公式和斯托克斯公式例8求向量场的旋度及其沿闭曲线的环流量，其中为球面和平面的交线，从轴正向看为逆时针方向。解由旋度的定义11.6高斯公式和斯托克斯公式向量场沿闭曲线的环流量为其中为所围的平面区域且取上侧，投影区域为，于是所求的环流量为在面上的11.6高斯公式和斯托克斯公式内容小结1.高斯公式及其应用应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时

6、注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:11.6高斯公式和斯托克斯公式2、斯托克斯公式空间曲线积分与路径无关的充要条件在内与路径无关在内处处有设P,Q,R在内具有一阶连续偏导数,则11.6高斯公式和斯托克斯公式3.*通量与散度设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量场通过有向曲面的通量为G内任意点处的散度为(n为的单位法向量）11.6高斯公式和斯托克斯公式4.*旋度设梯度:散度:旋度:则11.6高斯公式和斯托克斯公式思考与练习？所围立体,判断下列演算是否正确?(1)为1.11.6高斯公式和斯托克斯公式。(2)11.

7、6高斯公式和斯托克斯公式。则提示:三式相加即得2.11.6高斯公式和斯托克斯公式高斯(1777–1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之

8、一,其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般