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1、§3高斯公式与斯托克斯公式首页×定理22.3设空间闭区域V由分片光滑的在V上有连续的一阶偏导数,则有闭曲面S所围成,S的方向取外侧,函数P,Q,R一、高斯公式首页×下面先证:证明设为XY型区域,则首页×首页×所以若不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证三式相加,即得所证Gauss公式：首页×例1计算其中S是由x=y=z=0,x=y=z=a六个平面所围的正立方体表面并取外侧为正向.解首页×例计算所围的空间区域的表面，方向取外侧.
2、解其中S为锥面与平面首页×设S1为上半球体的底面，例计算的外侧.解其中S是上半球面取下侧.于是首页×斯托克斯公式建立了沿曲面S的曲面积分与沿S的边界曲线L的曲线积分之间的联系.对曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下规定：设人站在曲面S上的指定一侧，沿边界曲线L行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线L的正向.这个规定方法也称为右手法则.首页×定理22.4设光滑曲面S的边界L是按段光滑曲线,同L）上具有连续一阶偏导数，则有S的侧与L的正向符合右手法则,在S（连首页×注意:则斯托克斯公式就是格林公
3、式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.如果S是xoy坐标平面上的一块平面区域,首页×为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:首页×证情形1与平行z轴的直线只交于一点,设其方程为为确定起见,不妨设取上侧(如图).则(利用格林公式)首页×首页×因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;首页×情形2曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克
4、斯公式仍成立.证毕首页×例2利用斯托克斯公式计算积分其中L为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，解取逆时针方向为正向如图所示.记三角形ABC为S,取上侧,则首页×首页×例利用斯托克斯公式计算积分其中L为y2+z2=1,x=y所交的椭圆正向.解记以L为边界的椭圆面为S,其方向按右手法则确定，于是有首页×首页×例为柱面与平面y=z的交线,从z轴正向看为顺时针,计算解设为平面z=y上被所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦首页×空间曲线积分与路径无关的条件定理22.5设Ω是空间单连通区域
5、,函数P,Q,R在Ω上具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对Ω内任一按段光滑闭曲线L,有(2)对Ω内任一按段光滑曲线L,与路径无关首页×(4)在Ω内处处有(3)在Ω内存在某一函数u,使首页×与路径无关,并求函数解令积分与路径无关,因此例3验证曲线积分首页×内容小结1.高斯公式首页×2.斯托克斯公式首页×例计算其中S为球面在第一卦限部分例设S与上例相同，取球面外侧，分别计算下列积分首页×德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数
6、、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.高斯(1777–1855)首页×
