高斯公式和斯托克斯公式(I)

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1、第十一章第六节高斯公式通量与散度推广Green公式Gauss公式一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、通量与散度机动目录上页下页返回结束一、高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧,函数P,Q,R在上有连续的一阶偏导数,则有PQRdxdydzxyzPdydzQdzdxRdxdy(Gauss公式)下面先证:RdxdydzRdxdyz高斯目录上页下页返回结束证明:设:

2、z1(x,y)z(x,y)z2(x,y),(x,y)Dxy为XY型区域,123,1:zz1(x,y),2:zz2(x,y),则z2Rz2(x,y)RdxdydzDdxdydzzxyz1(x,y)z3R(x,y,z2(x,y))1DxyyR(x,y,z1(x,y))dxdyDxyxRdxdyRdxdy213DR(x,y,z2(x,y))dxdyDR(x,y,z1(x,y))dxdy

3、xyxy定理1目录上页下页返回结束R所以dxdydzRdxdyz若不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,在辅助面正反两侧面积分正负抵消,故上式仍成立.P类似可证dxdydzPdydzxQdxdydzQdzdxy三式相加,即得所证Gauss公式：PQRdxdydzxyzPdydzQdzdxRdxdy定理1目录上页下页返回结束例1.用Gauss公式计算(xy)dxdy

4、(yz)xdydz22及平面z=0,z=3所围空间其中为柱面xy1闭域的整个边界曲面的外侧.z解:这里P(yz)x,Q0,Rxy3利用Gauss公式,得原式=(yz)dxdydz(用柱坐标)oy1(rsinz)rdrddzx2139drdr(rsinz)dz0002思考:若改为内侧,结果有何变化?若为圆柱侧面(取外侧),如何计算?机动目录上页下页返回结束例2.利用Gauss公式计算积分222zI(xcosycos

5、zcos)dS222介于z=0及hh其中为锥面xyz1z=h之间部分的下侧.oy解:作辅助面x2221:zh,(x,y)Dxy:xyh,取上侧记,所围区域为,则在上,0112222I()(xcosycoszcos)dS1122(xyz)dxdydzhdxdyDxy机动目录上页下页返回结束2I2(xyz)dxdydzDhdxdyxy利用重心公式,注意xy0zh4hh2

6、zdxdydz1h24oy2zzdzh0x14h2机动目录上页下页返回结束22例3.设为曲面z2xy,1z2取上侧,求3222I(xzx)dydzxyzdzdxxzdxdy.z解:作取下侧的辅助面2221:z1(x,y)Dxy:xy11I用柱坐标用极坐标111o21ydxdydz(1)(x)dxdyxDxy212r221dr2r3dr0d01dz0cosd013

7、12机动目录上页下页返回结束例4.设函数u(x,y),v(x,y)在闭区域上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式vPu2v2v2vxu222dxdydzvxyzQuyuvvvvcoscoscosdSRuxyzzuvuvuvdxdydzxxyyzz其中是整个边界面的外侧.PQR分析:高斯公式dxdydzx

8、yzPdydzQdzdxRdxdy机动目录上页下页返回结束vvv证:令Pu,Qu,Ru,由高斯公式得xyz222vvvux2y2z2uvuvuvdxdydzxxyyzzvvvudydzdzdxdxdyxyzvvvucoscoscosdSxyz移项即得所证公式.(见P171)机动目录上页下页返回结束*二、沿任意闭曲面