高斯公式与斯托克斯公式(2)

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1、第二十二章曲面积分§3高斯公式与斯托克斯公式授课章节：ch22---§3-高斯公式与斯托克斯公式（P290--297）教学目的：1）掌握高斯公式与斯托克斯公式的应用教学重点：定理22.3,定理22.4教学难点：定理22.3,定理22.4教学方法：讲练结合．教学程序：1．引导2．定理22.3,定理22.43．例题及部分习题练习4．作业．P295习题1(1、3),2,3(2),4(1),5(1)。一　高斯公式　　格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系

2、，这就是本段所要讨论的高斯（Gauss）公式。　　定理22.3　设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成。若函数P，Q，R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则，　　　　　　　（1）其中S取外侧。（1）式称为高斯公式。　　证　下面只证读者可类似地证明这些结果相加便得到了高斯公式（1）。　　先设V是一个xy型区域，即其边界曲面S由曲面　　①若S为封闭曲面，则曲面积分的积分号用表示。及以垂直于的边界的柱面组成（图22－6），其中。于是按三重积分的计算方法有其中都取上侧。又由于在xy平面上投影区域的面积为零，所以因此

3、　　对于不是xy型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论。详细的推导与格林公式相似，这里不再细说了。　　　　　　▌　　高斯公式可用来简化某些曲面积分的计算。　　例1　计算其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧（即上节习题1（1））。　　解　应用高斯公式，所求曲面积分等于　　　　　　　　▌若高斯公式中P＝x,Q=y,R=z,则有于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体积公式　　二　斯托克斯公式　　斯托克斯（Stokes）公式是建立沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L的积分之间的联

4、系。　　在讲下述定理之前，先对双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下规定：设有人站在S上指定的一侧，若沿L行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线L的正向；若沿L行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线L的负向，这个规定方法也称为右手法则，如图22－7所示。　　定理22.4　设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线。若函数P、Q、R在S（连同L）上连续，且有一阶连续偏导数，则　　　　　　（2）其中S的侧与L的方向按右手法则确定。　　证　先证　　　　　　　　　　（3）其中曲面S由方程确定，

5、它的正侧法线方向数为，方向余弦为，所以　　若S在xy平面上投影区域为，L在xy平面上的投影曲线记为。现由第二型曲线积分定义及格林公式有因为所以由于。从而综合上述结果，便得所要证明的（3）式。　　同样对于曲面S表示为和时，可证得　　　　（4）和　　　　　（5）将（3）、（4）、（5）三式相加即得（2）式。　　如果曲面S不能以的形式给出，则可用一些光滑曲线把S分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示。因而这时（2）式也能成立。　▌　　公式（2）称为斯托克斯公式。　　为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式：

6、　　例2　计算其中L为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向（图22－8）。　　解　应用斯托克斯公式推得　　　　　　　　　　　由斯托克斯公式，可导出空间曲线积分与路线无关的条件.　　区域V称为单连通区域，如果V内任一封闭曲线皆可以不经过V以外的点而连续收缩于属于V的一点。如球体是单连通区域。非单连通区域称为复连区域。如环状区域不是单连通区域中，而是复连通区域。　　与平面曲线积分相仿，空间曲线积分与路线的无关性也有下面相应的定理。　　定理22.5　设为空间单连通区域。若函数P，Q，R在上连续，且

7、有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：　　（i）对于内任一按段光滑的封闭曲线L有　　（ii）对于内任一按段光滑的曲线L，曲线积分与路线无关；　　（iii）是内某一函数u的全微分，即　　　　　　　（6）　　（iv）在内处处成立。　　这个定理的证明与定理21.12相仿，这里不重复了。　　例3　验证曲线积分与路线无关，并求被积表达式的原函数。　　解　由于所以曲线积分与路线无关。　　现在求取如图22－9，从沿平行于x轴的直线到，再沿平行于y轴的直线到，最后沿平行于z轴的直线到。于是其中是一个常数。若取为原点，则得

8、　　　　　　　　▌