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时间:2018-12-22
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1、第二十二章曲面积分§3高斯公式与斯托克斯公式授课章节:ch22---§3-高斯公式与斯托克斯公式(P290--297)教学目的:1)掌握高斯公式与斯托克斯公式的应用教学重点:定理22.3,定理22.4教学难点:定理22.3,定理22.4教学方法:讲练结合.教学程序:1.引导2.定理22.3,定理22.43.例题及部分习题练习4.作业.P295习题1(1、3),2,3(2),4(1),5(1)。一 高斯公式 格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系,沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系
2、,这就是本段所要讨论的高斯(Gauss)公式。 定理22.3 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成。若函数P,Q,R在V上连续,且有一阶连续偏导数,则, (1)其中S取外侧。(1)式称为高斯公式。 证 下面只证读者可类似地证明这些结果相加便得到了高斯公式(1)。 先设V是一个xy型区域,即其边界曲面S由曲面 ①若S为封闭曲面,则曲面积分的积分号用表示。及以垂直于的边界的柱面组成(图22-6),其中。于是按三重积分的计算方法有其中都取上侧。又由于在xy平面上投影区域的面积为零,所以因此
3、 对于不是xy型区域的情形,则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论。详细的推导与格林公式相似,这里不再细说了。 ▌ 高斯公式可用来简化某些曲面积分的计算。 例1 计算其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧(即上节习题1(1))。 解 应用高斯公式,所求曲面积分等于 ▌若高斯公式中P=x,Q=y,R=z,则有于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体积公式 二 斯托克斯公式 斯托克斯(Stokes)公式是建立沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L的积分之间的联
4、系。 在讲下述定理之前,先对双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下规定:设有人站在S上指定的一侧,若沿L行走,指定的侧总在人的左方,则人前进的方向为边界线L的正向;若沿L行走,指定的侧总在人的右方,则人前进的方向为边界线L的负向,这个规定方法也称为右手法则,如图22-7所示。 定理22.4 设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线。若函数P、Q、R在S(连同L)上连续,且有一阶连续偏导数,则 (2)其中S的侧与L的方向按右手法则确定。 证 先证 (3)其中曲面S由方程确定,
5、它的正侧法线方向数为,方向余弦为,所以 若S在xy平面上投影区域为,L在xy平面上的投影曲线记为。现由第二型曲线积分定义及格林公式有因为所以由于。从而综合上述结果,便得所要证明的(3)式。 同样对于曲面S表示为和时,可证得 (4)和 (5)将(3)、(4)、(5)三式相加即得(2)式。 如果曲面S不能以的形式给出,则可用一些光滑曲线把S分割为若干小块,使每一小块能用这种形式来表示。因而这时(2)式也能成立。 ▌ 公式(2)称为斯托克斯公式。 为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式:
6、 例2 计算其中L为平面x+y+z=1与各坐标面的交线,取逆时针方向为正向(图22-8)。 解 应用斯托克斯公式推得 由斯托克斯公式,可导出空间曲线积分与路线无关的条件. 区域V称为单连通区域,如果V内任一封闭曲线皆可以不经过V以外的点而连续收缩于属于V的一点。如球体是单连通区域。非单连通区域称为复连区域。如环状区域不是单连通区域中,而是复连通区域。 与平面曲线积分相仿,空间曲线积分与路线的无关性也有下面相应的定理。 定理22.5 设为空间单连通区域。若函数P,Q,R在上连续,且
7、有一阶连续偏导数,则以下四个条件是等价的: (i)对于内任一按段光滑的封闭曲线L有 (ii)对于内任一按段光滑的曲线L,曲线积分与路线无关; (iii)是内某一函数u的全微分,即 (6) (iv)在内处处成立。 这个定理的证明与定理21.12相仿,这里不重复了。 例3 验证曲线积分与路线无关,并求被积表达式的原函数。 解 由于所以曲线积分与路线无关。 现在求取如图22-9,从沿平行于x轴的直线到,再沿平行于y轴的直线到,最后沿平行于z轴的直线到。于是其中是一个常数。若取为原点,则得
8、 ▌
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