高斯公式与斯托克斯公式

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1、§3高斯公式与斯托克斯公式教学目的：掌握高斯公式和斯托克斯公式．教学重点：应用高斯公式和斯托克斯公式计算.教学难点：斯托克斯公式.教学过程一、高斯公式定理22．3设有空间区域由分片光滑的双侧闭曲面围成．若函数在上连续，且具有一阶连续偏导数，则=，其中取外侧．称为高斯公式.证只证=.类似可证=和=.这些结果相加便得到了高斯公式．先设是一个型区域，即其边界曲面由曲面：，：，及垂直于的边界的柱面组成其中．于是按三重积分的计算方法有==5===其中都取上侧．又由于在平面上投影区域的面积为零，所以，因此=+=对于不是型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个型区

2、域来讨论．详细的推导与格林相似．例1计算,其中是边长为的正立方体表面并取外侧．解应用高斯公式，所求曲面积分等于===.二、斯托克斯公式双侧曲面的侧与其边界曲线的方向的规定：右手法则．定理22.4设光滑曲面的边界是按块光滑的连续曲线．若函数在（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则=（2）5其中的侧与的方向按右手法则确定．证明先证=，（3）其中曲面由方程确定，它的正侧法线方向数为，方向余弦为，所以，，若在平面上投影区域为，在平面上的投影曲线为．现由第二型曲线积分的定义及格林公式有==.因为=，所以=.由于，从而====.综合上述结果，便得所要证明的（3）式．同样

3、对于曲面表示为和时，可证得5=，（4）=.（5）将（3），（4），（5）三式相加即得（2）式．如果曲面不能以的形式给出，则可用一些光滑曲线把分割为若于小块，使每一小块能用这种形式来表示．因而这时（2）式也能成立．公式(2)称为斯托克斯公式，也可写成如下形式：=.例2计算，其中为平面与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向．解应用斯托克斯公式===．单连通区域：如果区域内任一封闭曲线皆可以不经过以外的点收缩于属于的一点，则称为单连通区域．非单连通区域称为复连通区域．定理22.5设为空间单连通区域．若函数在上连续，且有一阶连续偏导数，则以下四个条件是等价的：（ⅰ）对

4、于内任一按段光滑的封闭曲线，有=0．（ⅱ）对于内任一按段光滑的曲线，曲线积分5与路线无关．只与的起点及终点有关。（ⅲ）是内某一函数的全微分，即.（ⅳ），，在内处处成立．证明略例3验证曲线积分与路线无关,请求该表达式的原函数．解由于，，，故===1，所以曲线积分与路线无关．现求==++==.取，即取为原点，则=．作业1，2，3，4.5