高斯公式与斯托克斯公式(II)

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1、8-6高斯公式与斯托克斯公式格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。而在空间上，高斯公式表达了空间区域上三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间的关系。定理1(高斯公式)则有1.高斯公式记做，则高斯公式可写成上式在物理上称为向量　　　　通过曲面Ｓ的通量．即：　通过闭曲面Ｓ的通量，等于其散度在Ｓ所包围的区域　上的三重积分．记的散度，定义　　　　　　　为向量函数（场）证对于一般的区域则可引进辅助面将其分割成若干个与上类似的小区域,则在每个小区域上式成立.故上式仍成立.然后相

2、加,因为在辅助面正反两侧面积分正负抵消,类似可证三式相加,即得所证Gauss公式：Gauss公式的实质表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知使用Guass公式时应注意验证条件:1.是取闭曲面的外侧；.是封闭曲面；2定理２（斯托克斯公式）设　为分片光滑的双侧曲面，其边界　是一条或几条分段光滑的闭曲线．假定在　上取定一侧的单位法向量为,再规定的定向，使得　的定向与　的指向构成右手系，记　及　分别为给定的上述定向后的　及　，斯托克斯公式2、斯托克斯公

3、式斯托克斯公式建立了沿曲面S的曲面积分与沿S的边界曲线L的曲线积分之间的联系.注意:则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.如果S是xoy坐标平面上的一块平面区域,为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:若记并定义称作向量场的旋度.证:情形1S与平行z轴的直线只交于一点,设其方程为为确定起见,不妨设S取上侧(如图).(利用格林公式)则因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;情形2曲面S与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把S分成与z轴只交于一点的

4、几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.证毕内容小结1.高斯公式2.斯托克斯公式