高斯公式与斯托克斯公式.ppt

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1、第六节Green公式Gauss公式推广一、高斯公式二、通量与散度高斯公式通量与散度第十章三、斯托克斯公式四、环流量与旋度一、高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲上有连续的一阶偏导数,下面先证:函数P,Q,R在面所围成,的方向取外侧,则有(Gauss公式)证明:设为XY型区域,则所以若不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证三式相加,即得所证Gauss公式：例+.用Gauss公式计算其中为柱面闭域的整个边界曲面的外侧.解:这里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐标

2、)及平面z=0,z=3所围空间思考:若改为内侧,结果有何变化?若为圆柱侧面(取外侧),如何计算?例1计算,其中为有向曲面的上侧．解:设则为了用高斯公式,补面下侧．设与围成立体由高斯公式,例1续例+.利用Gauss公式计算积分其中为锥面解:作辅助面取上侧介于z=0及z=h之间部分的下侧.所围区域为,则利用重心公式,注意练习.设为曲面取上侧,求解:作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标在闭区域上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式例+.设函数其中是整个边界面的外侧.分析:高斯公式证:令由高斯公式得移项即得所证公式.(见同济P171)二、通量与散度

3、引例.设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为理意义可知,设为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为若为方向向外的闭曲面,当>0时,说明流入的流体质量少于当<0时,说明流入的流体质量多于流出的,则单位时间通过的流量为当=0时,说明流入与流出的流体质量相等.流出的,表明内有泉;表明内有洞;根据高斯公式,流量也可表为③方向向外的任一闭曲面,记所围域为,设是包含点M且为了揭示场内任意点M处的特性,在③式两边同除以的体积V,并令以任意方式缩小至点M则有此式反应了流速场在点M的特点

4、:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.定义:设有向量场其中P,Q,R具有连续一阶偏导数,是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量n,为向量场A通过有向曲面的通量(流量).在场中点M(x,y,z)处称为向量场A在点M的散度.记作divergence表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场A处处有,则称A为无源场.例如,匀速场故它是无源场.说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且三、斯托克斯(Stokes)公式定理1.设光滑曲面的边界是分段光滑曲线,(斯托克斯公式)个空间域内具有连续

5、一阶偏导数,的侧与的正向符合右手法则,在包含在内的一证:情形1与平行z轴的直线只交于一点,设其方程为为确定起见,不妨设取上侧(如图).则有则(利用格林公式)因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;情形2曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.注意:如果是xoy面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积

6、分表示:例2计算，其中为柱面和的交线,从X轴正向看去取逆时针方向．解:设则由斯托克斯公式．例2续由两类曲面积分的关系得又面与xoy面垂直,有设在xoz面的投影区域为．例+.利用斯托克斯公式计算积分其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个解:记三角形域为,取上侧,则边界,方向如图所示.利用对称性例+.为柱面与平面y=z的交线,从z轴正向看为顺时针,计算解:设为平面z=y上被所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦四、环流量与旋度斯托克斯公式设曲面的法向量为曲线的单位切向量为则斯托克斯公式可写为令,引进一个向量记作向量rotA称为向量场

7、A的称为向量场A沿有向定义:闭曲线的环流量.于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.rotation向量场A产生的旋度场穿过的通量注意与的方向形成右手系!为向量场A沿的环流量斯托克斯公式①的物理意义:例4.求电场强度的旋度.解:(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.的外法向量,计算解:例5.设内容小结1.高斯公式及其应用公式:应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:2.通量与散度设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量场通过有向曲面的通