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1、§3高斯公式与斯托克斯公式教学目的：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．教学内容：高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分．掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件．高斯(Gauss)公式斯托克斯(Stokes)公式定理22.3设空间闭区域V由分片光滑的在V上有连续的一阶偏导数,则有闭曲面S所围成,S的方向取外侧,函数P,Q,R一、高斯公式下面先证:证明设为XY型区域,则所以若不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上
2、式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证三式相加,即得所证Gauss公式：例1计算其中S是由x=y=z=0,x=y=z=a六个平面所围的正立方体表面并取外侧为正向.解例计算所围的空间区域的表面，方向取外侧.解其中S为锥面与平面设S1为上半球体的底面，例计算的外侧.解其中S是上半球面取下侧.于是斯托克斯公式建立了沿曲面S的曲面积分与沿S的边界曲线L的曲线积分之间的联系.对曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下规定：设人站在曲面S上的指定一侧，沿边界曲线L行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界曲线L的正向.二、斯托克斯公式这个规定方法也称为右手法则.定理22.4
3、设光滑曲面S的边界L是按段光滑曲线,同L）上具有连续一阶偏导数，则有S的侧与L的正向符合右手法则,在S（连注意:则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.如果S是xoy坐标平面上的一块平面区域,为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:证:情形1与平行z轴的直线只交于一点,设其方程为为确定起见,不妨设取上侧(如图).则(利用格林公式)因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;情形2曲面与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积
4、分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.证毕例2.利用斯托克斯公式计算积分其中L为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，解取逆时针方向为正向如图所示.记三角形ABC为S,取上侧,则例.利用斯托克斯公式计算积分其中L为y2+z2=1,x=y所交的椭圆正向.解记以L为边界的椭圆面为S,其方向按右手法则确定，于是有例.为柱面与平面y=z的交线,从z轴正向看为顺时针,计算解:设为平面z=y上被所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦空间曲线积分与路径无关的条件定理22.5设Ω是空间单连通区域,函数P,Q,R在Ω上具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价
5、:(1)对Ω内任一按段光滑闭曲线L,有(2)对Ω内任一按段光滑曲线L,与路径无关(4)在Ω内处处有(3)在Ω内存在某一函数u,使与路径无关,并求函数解:令积分与路径无关,因此例3.验证曲线积分内容小结1.高斯公式2.斯托克斯公式例计算其中S为球面在第一卦限部分例设S与上例相同，取球面外侧，分别计算下列积分德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代
6、数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.高斯(1777–1855)
