高等数学高斯公式和斯托克斯公式课件.ppt

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1、第六节一、高斯公式机动目录上页下页返回结束高斯公式斯托克斯公式第十一章二、斯托克斯公式三、对称性在积分学中的应用一、高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭域由分片光滑的闭曲上有连续的一阶偏导数,函数P,Q,R在面所围成,的方向取外侧,则有(Gauss公式)高斯目录上页下页返回结束注：①Gauss公式表达了空间闭域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.②Green公式，Gauss公式均反映了区域“内部”与其“边界”上的积分关系.例1.用Gauss公式求其中为边长为1的正方体表面，取外侧.解:这里利用Gauss公式,得机动目录上页下页返回结束则在

2、上连续.例2.求其中为解:的外侧.机动目录上页下页返回结束利用Gauss公式,得思考:下述解法是否正确,为什么?否！因为的被积函数是定义在上的.例3.设为曲线解:机动目录上页下页返回结束求绕轴旋转所成曲面的外侧.所以Gauss公式简便，为此补平面取前侧故由Gauss公式得例4.求机动目录上页下页返回结束其中为的外侧.解：在原点不连续，所以不能直接使用Gauss公式.为此,作球心在原点,半径为r的含于椭球面内的小球面取内侧,记与所围区域为故由Gauss公式得高斯目录上页下页返回结束再使用Gauss公式二、斯托克斯(Stokes)公式定理2.设光滑曲面的边界

3、是分段光滑曲线,偏导数,的侧与的方向符合右手法则,上具有连续一阶则有①Stokes公式表达了空间曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系;②若Σ是xoy面上的闭域,高斯目录上页下页返回结束Stokes公式即为格林公式.注:例5.利用斯托克斯公式计算积分其中为平面x+y+z=1与各坐标面的交线,解:记三角形域为,取上侧,则所示.利用轮换对称性高斯目录上页下页返回结束方向如图三、对称性在积分学中的应用1、奇偶对称性二重积分中若积分区域关于y轴对称,而被积函数(1)关于x是奇函数,则积分结果为0.三重积分中若积分区域关于xoy面对称,而被积函数关于

4、z是奇函数,则积分结果为0.(2)奇偶对称性适用于:定积分,二重积分,三重积分,第一类曲线积分,第一类曲面积分.高斯目录上页下页返回结束(没有方向的积分)2、轮换对称性(1)若中三个变量按任一顺序同时对换后,函数的表达式不变,空间闭域(空间曲线,曲面,立体)的轮换对称性与上述定义类似,本质上就是同时对换坐标轴.(2)假设空间闭域具有轮换对称性,则在上的积分关于被积表达式轮换相等.则称具有轮换对称性.高斯目录上页下页返回结束(3)例如:轮换对称性适用于:二重积分,三重积分,两类曲线积分,两类曲面积分.①若,则②若,则③若,取外侧,则高斯目录上页下页返回结束内容小结

5、1.高斯公式及其应用公式:应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:机动目录上页下页返回结束备用题设是一光滑闭曲面,所围立体的体是外法线向量与点(x,y,z)的向径试证证:设的单位外法向量为则的夹角,积为V,机动目录上页下页返回结束高斯(1777–1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他

6、在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.