计算方法课件 第二章 非线性方程的数值解法.ppt

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1、第二章非线性方程的数值解法2.1二分法2.2一般迭代法2.3牛顿迭代法2.4弦截法（1）确定初始含根区间数值计算方法主要分为两大类。第一类是区间收缩法。（2）收缩含根区间第二类是迭代法。（1）选定根的初始近似值（2）按某种原则生成收敛于根的近似点列2.1二分法基本假设:2.1.1二分法的计算步骤常用终止原则为:2.1.2二分法的收敛性与事前误差估计所以，二分法总是收敛的例2.1试用二分法求的一个正根，使误差小于10-3故可取初始区间解2.1.3二分法评述优点：简单可靠，易于编程实现，它对函数要求低，适用于的奇数重根情形。缺点：不能直接用于求偶重根，不能用于

2、求复根，也难以向方程组推广使用，收敛速度慢。2.2一般迭代法迭代法的算法思想为：(1)把（2-2）等价变换为如下形式(2)建立迭代格式或更一般地建立迭代格式(3)适当选取初始值，递推计算出所需的解。2.2.1迭代法的算法思想2.2.2迭代法的收敛性则称在内李普希兹连续。定义2.1设在某个区间内，函数满足下述李普希兹条件：则在内李普希兹连续。命题2.1若在闭区间内连续且命题得证。证定理2.1设x*=g(x*),g(x)在闭区间：内李普希兹连续，则对任何初值由迭代格式xk+1=g(xk)计算得到的解序列收敛于x*(这时我们称迭代格式xk+1=g(xk)在

3、x*的邻域上局部收敛）。（1）首先用数学归纳法证明：由假设知又设，则综上，由归纳法原理知，结论成立。证因此，，定理得证。反设存在矛盾。所以结论成立。2)迭代函数在x*附近李普希兹连续从而收敛的迭代格式统称为皮卡（Picard）迭代(2)由（1）的结论和g(x)在内李普希兹连续的假设，可递推得到注1)g(x)在内李普希兹连续的条件保证了x*为f(x)=0在内的唯一根。证推论设x*=g(x*)，若g(x)在x*附近连续可微且，则迭代格式xk+1=g(xk)在x*附近局部收敛。注由于x*事先未知，故实际应用时，代之以近似判则。但需注意，这实际上是假设了x

4、0充分接近x*，若x0离x*较远，迭代格式可能不收敛。定理2.2（非局部收敛定理）如果在上连续可微且以下条件满足：注虽然定理2.1的条件是充分条件，但其条件并不很强，实际上，我们易证如下命题。命题2.2若在区间内，则对任何，迭代格式不收敛。2.2.3迭代法的误差估计故对正整数p，有（2）事后误差估计由此，对给定的精度可进行(1)事前误差估计简单地代之以或例2.2试建立收敛的迭代格式求解在区间(2,3)内满足精度要求的根。首先可简单的把等价化为由此建立迭代格式所以该迭代格式在内不收敛，不可取。为建立收敛的迭代格式，我们把等价化为从而建立迭代格式解易知在x>0

5、时g(x)单调增，故有2

6、nsen算法。据此，我们可取修正值作为的新近似值以提高精度。这一技巧便称为埃特肯加速技巧。例2.3试用Steffensen算法求解在区间（2，3）内满足精度要求的根。对例2.2的迭代格式取用算法计算，结果见表2-3。解2.3牛顿迭代法2.3.1牛顿迭代公式的构造设f(x)在其零点附近连续可微，已知为的第k次近似值，则取的根作为的第k+1次近似值其迭代函数为牛顿迭代法几何意义：过点作函数y=f(x)的切线l：以切线l与x轴的交点作为的新近似值2.3.2牛顿迭代法的收敛性与收敛速度定理2.3给定f(x)=0，如果在根附近f(x)二阶连续，且为f(x)=0的单根

7、，则牛顿迭代法在附近至少是平方收敛的。首先证明牛顿迭代法的收敛性：而单根条件保证了因此由定理2.1知，牛顿迭代法局部收敛。证其次证明牛顿迭代法的收敛速度：整理得可见，当时，牛顿迭代法为平方收敛；当时，牛顿迭代法超平方收敛。例2.4试用牛顿迭代法求解在区间(2,3)内满足精度要求的根。相应于该方程的牛顿迭代公式为取x0=2，计算结果见表2-4。解牛顿迭代法评述优点：是收敛速度比较快缺点：(1)局部收敛，对初始值的要求比较高。为解决这一问题，可采用二分法来提供足够“好”的近似值作为迭代初值，或通过增加“下山”限制来放宽对初值的要求，即把牛顿迭代法修改为其中的选

8、取使得（这称为“下山”限制）。该方法称为牛顿下山法。（2）当为重根