第二章非线性方程的数值解法.ppt

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1、第二章非线性方程的数值解法2.1二分法2.2迭代法2.3牛顿迭代法求解非线性方程的根，就是求解高次方程或超越方程(含有指数和对数等)，因为这类方程没有固定的求根公式。用f(x)表示方程左端的函数，则一般的非线性方程可表示为f(x)=0.本章的任务就是上述方程的根或函数的零点。2.1二分法（实根的对分法）使用对分法的条件设f(x)∈C[a,b],且f(a)f(b)<0,存在ξ∈(a,b)，使f(ξ)=0.（微积分中的介值定理）例2.1求在区间[1,2]之间的零点。解对分法求根算法注1对分法对多个零点的情况，只能算出其中一个零点。注2即使f(x)在[a,b]上有

2、零点，也未必有f(a)f(b)<0。2.2迭代法判定迭代格式xk+1=φ(xk)收敛的条件:定理1若定义在[a,b]的φ(x)满足：（1）当x∈[a,b],有a≤φ(x)≤b；（2）φ(x)在[a,b]上可导，且存在正数L<1,使任意的x∈[a,b],有

3、φ'(x)

4、

5、中值定理得ii）有条件（1）易知，对任意正整数p，有iii）在（*）式中，令p∞，即得（4.1）。证毕。例2.2求x3-2x-5=0在[1.5，2.5]上的根。解1）2）若将迭代格式写为：2.3牛顿迭代法非线性方程：f(x)=0。ByTaylorexpansionatx0,牛顿迭代法对应于f(x)=0的等价方程：i)若α为f(x)的单根，即f(α)=0，f'(α)≠0,则

6、φ'(α)

7、=0，因此对充分小的δ>0,当x∈(α-δ,α+δ)时，有

8、φ'(x)

9、<1.所以牛顿迭代法收敛。若α为f(x)的p重根，取则。牛顿迭代法可取为牛顿法的几何意义注1：使用牛顿

10、迭代法存在从一个根跳到另一个根的情况。注2：如果f(x)=0没有实根，则牛顿迭代序列不收敛。例2.3证明：设α是f(x)=0的单根，则牛顿迭代法是2阶收敛的。迭代格式p阶收敛的定义记ek=xk-α,若存在常数c成立解：牛顿迭代格式的迭代函数为因为α是f(x)=0的单根，所以f'(α)≠0。例2.4写出用牛顿法求，并计算。解设2.3(2)弦截法在牛顿迭代法中，用相邻两次迭代值的一阶差商来代替一阶导数，即取就得到弦截法弦截法的初始条件是已知2个初始点x0,x1。弦截法的几何意义过两点作一条直线，令y=0（f(x)=0)，得与X轴的交点x作为x1，即弦截法算法2

11、.3(3)非线性方程组的牛顿法考虑非线性方程组在点作二元Taylor展开，并取线性部分最后我们得到求解非线性方程组的牛顿迭代格式例2.5解非线性方程组解Jacobi矩阵：继续做下去，直到时停止。