第二章非线性方程的数值解法.ppt

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1、第二章非线性方程的数值解法2.1引言方程f(x)=0的根,亦称为函数f(x)的零点如果f(x)可以分解成,其中m为正整数且,则称x*是f(x)的m重零点,或方程f(x)=0的m重根。当m=1时称x*为单根。若f(x)存在m阶导数,x*是方程f(x)的m重根(m>1)当且仅当记笔记第二章非线性方程的数值解法当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方程等）。n次多项式构成的方程为n次代数方程,当n＞1时,方程显然是非线性的.一般稍微

2、复杂的3次以上的代数方程或超越方程,很难甚至无法求得精确解。本章将介绍常用的求解非线性方程的近似根的几种数值解法第二章非线性方程的数值解法通常方程根的数值解法大致分为三个步骤：①判定根的存在性。即方程有没有根？如果有根，有几个根？②确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔离开来（该区间称为有根区间），这个过程目的是获得方程各根的初始近似值。③根的精确化。将根的初始近似值按某种方法逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止。根的存在性：方程的根几何上讲是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标。代数方程，其根的个数（实或复的）与其次数相同。

3、非代数方程，其根可能是一个、几个或无解。高等数学关于根在特定区间上的存在性f(x)为区间[a,b]上的单值连续,如果f(a)·f(b)<0,则[a,b]中至少有一个实根。如果f(x)在[a,b]上还是单调地递增或递减，则仅有一个实根。y=f(x)aby有根区间：根据介质定理一般选择区间长度较小的单根区间确定有根区间的方法：(1)画图法画出y=f(x)的略图，从而看出曲线与x轴交点的大致位置。也可将f(x)=0分解为1(x)=2(x)的形式，1(x)与2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间即为含根区间。例如xlogx-1

4、=0可以改写为logx=1/x画出对数曲线y=logx,与双曲线y=1/x,它们交点的横坐标位于区间[2,3]内023yx对于某些看不清根的函数，可以扩大一下曲线y0xy=f(x)y=kf(x)记笔记y0xABa1b1a2b2(2)逐步搜索法(2)搜索法对于给定的f(x)和区间[A,B],从x0=A出发,以步长h=(B-A)/n(n是正整数),在[A,B]内取定节点:xi=x0＋ih(i=0,1,2,…,n),从左至右检查f(xi)的符号,如发现xi与端点xi-1的函数值异号(相邻两点函数值异号),则得到一个缩小的有根子区间［

5、xi-1,xi］。例1方程f(x)=x3-x-1=0确定其有根区间解：用试凑的方法，不难发现f(0)<0f(2)>0在区间（0，2）内至少有一个实根设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的搜索,列表如下xf(x)00.51.01.52–––++可以看出，在[1.0,1.5]内必有一根注意事项用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选取步长h要选择适当h，使之既能把根隔离开来，工作量又不太大。问题在获取有根区间后，如何获取指定精度要求的初值？注意，在隔根区间上，函数是单调连续的二分法可以在隔根区间上求得满意值。2.2二分法二分法又

6、称二分区间法,是求解方程(2.1)的近似根的一种常用的简单方法。二分法的基本思想是:首先确定有根区间（单根区间）,将区间二等分,通过判断f(x)在二等分点的符号,逐步将有根区间缩小,直至有根区间足够地小（小到该区间的长度小于要求的精度）,便可求出满足精度要求的近似根（取最后一个区间的二等分点作为近似值）。①取区间[a,b]之中点,第一次将它分为两半,分点,这样可得缩小的有根区间[a1,b1]2.2.1二分法求根过程设方程f(x)=0在区间[a,b]内有唯一根②对压缩了的有根区间施行同样的手法：取中点,将区间再分为两半,然后再确

7、定有根区间,其长度是的二分之一③如此反复下去,若不出现,即可得出一系列有根区间序列：上述每个区间都是前一个区间的一半,因此的长度当k→∞时趋于零,这些区间最终收敛于一点x*即为所求的根。K次二分后,有根区间的中点为对给定精度ε，只要K足够大，就可以使当给定精度ε＞0后,要想成立,只要取k满足即可，亦即当:时（本质是取第K个区间的中点）,做到第k次二分,计算得到的就是满足精度要求的近似根。在程序中通常用相邻的与的差的绝对值或与的差的绝对值是否小于ε来决定二分区间的次数。二分法算法实现例２求方程f(x)=x3-x-1=0在区间[1

8、.0,1.5]内的一个实根,使误差不超过0.5×10-2。P19解答：f’(x)＝3x2-1,在[1,1.5]f’(x)>0，即f(x)在[1.0,1.5]上单调连续。又f(1)<0,f(1.5)>0，故f(X)＝0在[1.0,1.5]上有唯一根。列表计算如下kxkf(xk)