计算方法非线性方程的数值解法讲解ppt课件.ppt

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1、第二章非线性方程的数值解法第2章非线性方程的数值解法2.1初始近似值的搜索2.2迭代法2.3牛顿迭代法（切线法）2.4弦截法（割线法）2.1初始近似值的搜索2.1.1方程的根单根和重根有根区间假设f(x)在区间[a,b]内有一个实根x*,若b–a较小，则可在(a,b)上任取一点x0作为初始近似根。一般情形，可用逐步搜索法。2.1.2逐步搜索法例对方程搜索有根区间。解由于f(x)是连续函数，f(0)=-1<0，f(2)>0，故方程至少有一正实根。设从x=0出发，取h=0.5为步长，逐步右跨搜索，得x00.51.0

2、1.5f(x)―――+所以f(x)在区间（1,1.5）上单调连续，因而在(1,1.5)内有且仅有一个实根，故可取[1,1.5]上任一点做初始近似根。可见在（1，1.5）内有根。又2.1.3区间二分法定理函数f(x)在[a,b]上单调连续，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a,b]上有且仅有一个实根x*。二分法的基本思想将有根的区间二分为两个小区间，然后判断根在那个小区间，舍去无根的小区间，而把有根的小区间再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此反复，直到求出满足精度要求的近似根。令近似根xk

3、的误差估计中点这时有三种情况：f(x0)=0,x0为所求的根.f(x0)和a0同号，取x0=a1f(x0)和b0同号，取x0=b1x*x*新的有根区间为(a1,b1)，长度是原来的一半。如此反复，有∈(ak,bk),k=0,1,2,…..近似根xk的误差估计第2次二分，取中点若f(a1)f(x1)<0，则x*∈(a1,x1)，令a2=a1,b2=x1；否则令a2=x1,b2=b1。新的有根区间为(a2,b2)。由此得二分过程结束的原则：先给定精度要求ε(绝对误差限)，（2）当

4、bk+1–ak+1

5、<ε时结束二分

6、计算，取x*≈xk；（1）事先由ε估计出二分的最小次数k，取x*≈xk2.2迭代法2.2.1迭代原理2.2.2迭代的收敛性2.2.3迭代的收敛速度2.2.4迭代的加速预备定理2.2.1迭代原理计算结果见下表方程f(x)=0化为等价形式的方程x=φ(x)，构造迭代公式xk+1=φ(xk),k=0,1,2,……取初始近似根x0,进行迭代计算x1=φ(x0),x2=φ(x1),……..则有x1,x2,,…….,xk,…….,得到迭代序列{xk}.如果这个序列有极限，则迭代公式是收敛的。这时则，x*为不动点，等价地有f

7、(x*)=0,x*即为方程的根。连续函数φ(x)称为迭代函数。实际计算到

8、xk–xk-1

9、<ε（ε是预定的精度），取x*≈xk。迭代公式收敛指迭代序列{xk}收敛，迭代公式发散指迭代序列{xk}不收敛，即发散。迭代公式不一定总是收敛。例如求方程f(x)=x3-x-1=0的一个根。对应的迭代公式为取初值迭代序列{xk}发散.x1=φ(x0)x2=φ(x1)迭代法收敛与发散的图示迭代法的收敛与发散收敛的情形发散的情形2.2.2迭代的收敛性迭代法的收敛条件及误差估计式定理（充分性条件）设函数φ(x)在[a,b]上连续

10、，且(1)对x∈[a,b],有φ(x)∈[a,b](2)存在0

11、φ′(x)

12、≤L<1则方程x=φ(x)在[a,b]上的根x*存在且唯一；对初值x0∈[a,b],迭代过程xk+1=φ(xk)均收敛于方程的根x*。定理中的(1)对x∈[a,b],有φ(x)∈[a,b]，称为适定性（映内性）。证明先证根的存在性。作连续函数ψ(x)=x-φ(x),由条件（1）x∈[a,b],φ(x)∈[a,b]，即a≤φ(x)、x≤b,于是ψ(a)=a-φ(a)≤0ψ(b)=b-φ(b)≥0由于ψ(x

13、)是连续函数，故必存在x*∈[a,b]使ψ(x*)=0.即ψ(x*)=x*-φ(x*)=0.于是x*=φ(x*)即x*为方程x=φ(x)的根。其次，证根的唯一性。设y*也是方程的根，则x*=φ(x*),y*=φ(y*),x*-y*=φ(x*)–φ(y*)=φ′(ξ)(x*-y*)x*-y*–φ′(ξ)(x*-y*)=0，（x*-y*）[1-φ′(ξ)]=0由条件（2）

14、φ′(x)

15、≤L<1，故有x*-y*=0，即x*=y*所以方程在[a,b]的根唯一。再证迭代的收敛性。由xk=φ(xk-1),x*=φ(x*),

16、有

17、xk-x*

18、=

19、φ′(ξ)(xk-1-x*)

20、≤L

21、xk-1-x*

22、≤L2

23、xk-2-x*

24、≤L3

25、xk-3-x*

26、≤……≤Lk

27、x0-x*

28、→0（k→∞）所以，对[a,b]上任取的x0,迭代公式xk+1=φ(xk)都收敛于x*。L越小收敛得越快。定理是充分性条件xk-x*=φ(xk-1)–φ(x*)=φ′(ξ)(xk-1-x*)推论：在定理的条件下，有误差估计式验后误差估计式验前