计算方法(非线性方程的数值解法).ppt

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1、1非线性方程的数值解法§1引言§2二分法§3迭代法§4牛顿法2§引言代数方程求根问题是一个古老的数学问题，早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世纪才证明次的一般代数方程式不能用代数公式求解。因此需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数方程式的近似解。在工程和科学技术中许多问题常常归结为求解非线性方程式问题，例如在控制系统的设计领域，研究人口增长率等。例1关于真实气体的状态方程（Vanderwaals方程）为其中，P是气体压力，V是气体提及，T是绝对温度，R是气体常数。如果已知某气体的温度T及压力P，那么求体积V的方程为：(1.1)

2、(1.2)3或本章将介绍这种类型方程的近似解的数值方法。设有一非线性方程其中为实变量的非线性函数。定义1（1）如果有使，则称为方程（1.3）的根，或称为函数的零点。（2）当为多项式时，即方程为称为n次代数方程。当包含指数函数或三角函数等特殊函数时，称为超越方程。（3）如果，其中，m为正整数，则称为的m重根。当m=1时称为的单根。(1.3)4先叙述两个基本定理。定理1（代数基本定理）设为具有复系数的n次代数方程，则于复数域上恰有n个根（r重根计算r个）。如果为实系数代数方程，则复数根成对出现，即当是的复根，则亦是的根。定理2（1）设于上连续：（2）且，

3、则存在有使即于内存在实的零点。设有非线性，实系数方程问题是：需要求出方程的所有实根（或复根）。5§2二分法设有非线性方程其中，为上连续函数且设（不妨设方程（2.1）于内仅有一个实根。求方程（2.1）实根的二分法过程，就是将含根区间逐步分半，检查函数符号的变化，以便确定含根的充分小区间。0yx图5-2（2.1）6二分法叙述如下；记（图5-2）第一步分半计算（k=1）:将分半，计算中点及，如果则根一定在区间内，否则根一定在区间内（若，则）。于是得到长度缩小一半的含根区间，即第k步分半计算：重复上述过程，设已完成第1步，，第k-1步分半计算得到含根区间且满

4、足；（1）即；（2）；现在进行第k步分半计算；（3）计算且有7（2.2)（4）确定新的含根区间，即如果，则根一定在内，否则根一定在区间且有总之，由上述二分法得到一序列，由（2.2），则有可用二分法求方程实根的近似值到任意指定的精度。事实上，设为给定精度要求，试确定分半次数k使由两边取对数，即得8例3用二分法求于内一个实根，且要求精度到小数后第3位（即要求）。显然，。解由，由公式（2.3）可确定所需分半次数。计算结果如下表(表5-1)。（2.3）911.02.01.58.89062521.01.51.251.56469731.01.251.125-0.

5、09771341.1251.251.18750.61665351.1251.18751.156250.23326961.1251.156251.1406250.061577871.1251.1406251.132813-0.019575681.1328131.1406251.1367190.020619091.1328131.1367191.134766101.1328131.1347661.133789-0.00959799111.1337891.1347661.134277-0.0045915表5-110二分法优点是简单，且对只要求连续即可。可用

6、二分法求出于内全部实根。但二分法不能求复数及偶数重根。二分法：设有方程，其中于连续，且满足条件（且设于内只有一个实根）。（1）计算（2）如果或则输出（3）如果则否则其中表示给定的最大分半次数，当或时分半终止，为一大数。11§3迭代法迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方法，超越方程及方程组的一种基本方法，但存在收敛性及收敛快慢问题。为了用迭代法求非线性方程的近似值，首先需要将此方程转化为等价的方程显然，将转化为等价方程（3.1）的方法是很多的。例4方程可用不同方法转化为等价方程（a）（b）定义2（迭代法）设方程为（1）选取方程的一个初始近似，且按下述

7、逐次代入法，构造一近似解序列；（3.1）12(3.2)这种方法称为迭代法（或称为单点迭代法）。称为迭代函数。（2）如果由迭代法产生的序列有极限存在，即，则称为收敛或称迭代过程（3.2）收敛。否则称不收敛。设为连续函数，且有，则有即为方程（3.1）的解（称为函数的不动点）。事实上，由迭代过程（3.2）两边取极限，则有13显然在由方程转化为等价的方程时，选择不同的迭代函数就会产生不同的序列（即使初始值选择一样），且这些序列的收敛情况也不会相同。例5对例4中方程，考查用迭代法求根（a）（b）k01.01.011.3414710.52359921.47382

8、00.02360131.495301-0.49655541.497152-1.48776151.497285