线性代数第一讲 逆矩阵课件.ppt

《线性代数第一讲 逆矩阵课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一讲逆矩阵上页下页铃结束返回首页补充例题逆矩阵的定义对于n阶矩阵A如果存在n阶矩阵B使得ABBAE则称矩阵A是可逆的并称B为A的逆矩阵简称逆阵记为A1即若ABBAE则BA1例设第一讲逆矩阵上页下页铃结束返回首页补充例题逆矩阵的定义对于n阶矩阵A如果存在n阶矩阵B使得ABBAE则称矩阵A是可逆的并称B为A的逆矩阵简称逆阵逆阵的唯一性如果矩阵A是可逆的那么A的逆阵是唯一的记为A1即若ABBAE则BA1所以逆阵是唯一的即BB1EB1B1(AB)B1B(AB

2、1)于是AB1B1AEABBAEBBE如果B和B1都是A的逆矩阵则有逆矩阵的定义对于n阶矩阵A如果存在n阶矩阵B使得ABBAE则称矩阵A是可逆的并称B为A的逆矩阵简称逆阵逆阵的唯一性如果矩阵A是可逆的那么A的逆阵是唯一的下页思考定理1若矩阵A可逆则

3、A

4、0对于n阶矩阵A当

5、A

6、0时称A是奇异矩阵否则称A为非奇异矩阵这是因为如果A可逆则AA1E所以

7、A

8、0故

9、A

10、

11、A1

12、

13、E

14、1逆矩阵的定义对于n阶矩阵A如果存在n阶矩阵B使得ABBAE则称矩阵A是可逆

15、的并称B为A的逆矩阵简称逆阵逆阵的唯一性如果矩阵A是可逆的那么A的逆阵是唯一的下页由行列式

16、A

17、的各个元素的代数余子式Aij所构成的方阵称为矩阵A的伴随矩阵简称伴随阵方阵的伴随矩阵类似地有A*A

18、A

19、E定理：AA*A*A

20、A

21、E由行列式

22、A

23、的各个元素的代数余子式Aij所构成的方阵称为矩阵A的伴随矩阵简称伴随阵方阵的伴随矩阵定理：AA*A*A

24、A

25、E按逆矩阵的定义得定理2若

26、A

27、0则矩阵A可逆且其中A*为矩阵A的伴随矩阵定理1若矩阵A可逆则

28、A

29、0逆矩阵的定义对于n阶矩阵A如果存在n

30、阶矩阵B使得ABBAE则称矩阵A是可逆的并称B为A的逆矩阵简称逆阵逆阵的唯一性如果矩阵A是可逆的那么A的逆阵是唯一的(若矩阵A可逆则A是奇异矩阵)下页推论若同阶方阵ABE(BAE)则BA1这是因为

31、A

32、

33、B

34、10A1EA1A1(AB)(A1A)BBEB于是因而A1存在故

35、A

36、0下页推论若同阶方阵ABE(BAE)则BA1下页例设方阵A使E+A可逆，并且满足求解：得从而即由故推论若同阶方阵ABE(BAE)则BA1(3)若A、B为同型可逆矩阵则AB

37、可逆且(AB)1B1A1(2)若A可逆数0则A可逆且(A)11A1(1)若A可逆则A1也可逆且(A1)1A逆矩阵的性质这是因为AA1EAEA1A(BB1)A1(AB)(B1A1)下页这是因为ETE(A1A)T推论若ABE(BAE)则BA1(4)若A可逆则AT也可逆且(AT)1(A1)T(3)若A、B为同型可逆矩阵则AB可逆且(AB)1B1A1(2)若A可逆数0则A可逆且(A)11A1(1)

38、若A可逆则A1也可逆且(A1)1A逆矩阵的性质AT(A1)T下页(4)若A可逆则AT也可逆且(AT)1(A1)T(3)若A、B为同型可逆矩阵则AB可逆且(AB)1B1A1(2)若A可逆数0则A可逆且(A)11A1(1)若A可逆则A1也可逆且(A1)1A逆矩阵的性质下页当A可逆,m为正整数时,亦可逆,且若规定则因为

39、A

40、adbc解cdab所以当

41、A

42、0时有提示A12cA11dA22aA21b下页由

43、A

44、20得知A

45、1存在解因为232662452提示提示提示下页由

46、A

47、20得知A1存在解因为所以232662452下页例3设求矩阵X使其满足AXBC解提示下页解APP1AnPnP1P2P1A2PP1PP1而下页例矩阵且有都是初等矩阵，所以初等矩阵是可逆矩阵，且其逆矩阵是同类型的初等矩阵.定理2(矩阵可逆的充要条件)方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1P2Pl使AP1P2Pl定理(初等矩阵在矩阵乘法中的作用)设A是一个mn矩阵对A施

48、行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵下页>>>定理2方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1P2Pl使AP1P