线性代数 2-4 可逆矩阵的逆矩阵课件.ppt

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1、2.4可逆矩阵的逆矩阵则矩阵称为的逆矩阵或逆阵.一、概念的引入在数的运算中，当数时，有其中为的倒数，（或称的逆）；在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法运算中的1，那么，对于矩阵，如果存在一个矩阵,使得.二、逆矩阵的概念和性质定义对于阶矩阵，如果有一个阶矩阵则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵.,使得例设.定理2.2若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的.若设和是的逆矩阵，则有可得所以的逆矩阵是唯一的,记.例设解设是的逆矩阵,则利用待定系数法.又因为所以.定理2.3矩阵可逆的充要条件是，且证明若可逆，..按逆矩阵的定义得证毕奇异矩阵与非奇异矩阵的定义.证明逆矩阵的运算性质推论若同阶方阵A,B,满

2、足AB=E,则.定理2.3矩阵可逆的充要条件是，且复习推论若同阶方阵A,B,满足AB=E,则性质对方阵A,逆矩阵的运算性质.证明.证明..例求方阵的逆矩阵.解三、逆矩阵的求法.同理可得故.解例1当时,B可逆,其逆矩阵也为对角矩阵,且.例2设的行列式则其逆矩阵.例3.例4已知非齐次线性方程组由于A是可逆矩阵,且逆矩阵是唯一的,因此,其中问方程组是否有解?如有解?求其解.解P66—例1.例5证明:若A是可逆的反对称,则也是反对称矩阵。证明因为所以是反对称矩阵。同理可以证明:可逆的对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵。.例６设为非零实矩阵，证明：若则Ａ为可逆矩阵。证明欲证Ａ可逆，只要证由与的定义可知，Ａ

3、的元素等于其自身的代数余子式将行列式按i行的展开式得由于Ａ为非零实矩阵，所以Ａ的元素为实数且不全为零，故即Ａ可逆．.例７设A,B,C均为n阶方阵，若ABC=I,则下列乘积:ACB,BAC,BCA,CAB,CBA中那些必等于单位阵I.解:根据矩阵的乘法结合律及AB=IBA=I得方法2由ABC=I可知A,B,C均可逆,从而.例8设A可逆,且证明B可逆,且当时,求B.解由得于是所以即B可逆.且其中.例设A,B均为n阶可逆矩阵,证明:证明(1)由可知AB也可逆.且所以(2)由得从而有.四、小结逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵存在.思考题.例设解于是例5解给方程两端左乘矩阵给方程两端右

4、乘矩阵得给方程两端左乘矩阵得给方程两端右乘矩阵解例6解例7思考题解答答