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《教学课件第四节可逆矩阵与逆矩阵.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节n阶方阵的行列式1、定义：设A=(aij)n×n为n阶方阵.由A中所有的元素按它们在A中的排列位置构成的n阶行列式称为方阵A的行列式,记作detA,即1方阵与行列式的区别方阵与行列式是两个不同的概念，n2个数按一定方式排成的n阶方阵是所确定的一个数．要清楚两者的含义数表.而n阶行列式是按行列式的定义注：及记号的区别.22、方阵行列式的性质（1）设A，B均为n阶方阵（2）（3）推广：为同阶方阵,则特别地：3例1设解求4注：例2设其中是数,求及解一般地54、退化矩阵：设A为n阶方阵,若则称A是非若则称A是退
2、化如：∵∴A是非退化矩阵。退化的或非奇异的；的或奇异的。6第四节可逆矩阵与逆矩阵一、逆矩阵的定义二、逆矩阵判断及计算三、逆矩阵的性质一、逆矩阵的定义单位阵具有与数1在数的乘法中类似的性质.在矩阵乘法中，对于任意n阶方阵A都有类似地,引入逆矩阵的概念而对于任意数，若,则存在使得8对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得成立，则矩阵A称为可逆矩阵，B称为A的定义：逆矩阵或逆阵。的逆矩阵是.由于所以是可逆矩阵,且例如,说明：零矩阵不是可逆矩阵。9同样,当都不为零时,由10是其逆矩阵.知对角矩阵是可逆矩阵,且一般地,
3、若都不为零,则对角矩阵是对角矩阵的逆矩阵11例因为即所以A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。同理A也是B的逆矩阵,A、B互为逆矩阵。12注：这是因为:如果方阵A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.所以A的逆矩阵是唯一的.今后将A的逆矩阵记作.B、C都是A逆矩阵,则有即若AB=BA=E,则13注1并不是A的-1次方，不能写成的形式。问题是否所有的方阵都可逆呢？否则，如何判别矩阵是否可逆？若A为可逆矩阵，如何求14二.矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法方阵可逆的必要条件：命题：设A可逆,则它有逆矩阵使得从而若A可逆,则证：所以1
4、5伴随矩阵:称为矩阵A的伴随矩阵.设行列式的各所构成的如下矩阵个元素的代数余子式注：中第i行第j列处的元素是而不是问题：上述必要条件是不是充分的？即若,A一定可逆吗？16例1.设求A的伴随矩阵.解:1718例2:设A为n阶方阵,是A的伴随矩阵,计算19所以同理故有当时，我们有从而A可逆,且20这样我们得到下述定理：说明：定理:n阶方阵A是可逆的充分必要条件是即A是非退化的,而且该定理给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，称之为伴随矩阵法。21例3：设判断A是否可逆？若可逆，求出解
5、：因为所以A可逆，且22因为所以23下面给出判别矩阵可逆的更简便的方法：命题：设A、B为n阶方阵，若则，A、B都可逆，且因为所以因此有故A、B都可逆,则有证：24说明：该命题给出了判断一个方阵是否可逆的一种方法，同时又可以立即写出可逆矩阵的逆矩阵问题：可逆矩阵有哪些性质？25若A可逆，则也可逆，且性质1：性质2：若A可逆，则也可逆，且因为所以证：三.性质26若A可逆，数则kA可逆,且若A、B都可逆，则AB也可逆，且因为所以证：性质3：性质4：27若n阶方阵可逆，则若A可逆，则因为A可逆，所以推广：证：性质5：
6、28例4:设方阵A满足A和A+2E都可逆，并求它们的逆矩阵。试证解：由再由29设线性方程组为若系数矩阵A可逆，求例5解：线性方程组的矩阵形式为因为A可逆，所以存在且有30例6：设A为n阶方阵，且求解：31解例7设三阶矩阵A、B满足关系3233作业P8220，21，22(2)(5),24，26，2734
