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1、一、可逆矩阵的概念二、可逆矩阵的判定、求法§2.4可逆矩阵三、逆矩阵的运算规律四、矩阵方程回忆问题的提出：的线性方程组是否可以象一元一次代一样求解?数方程即:可逆矩阵１.定义：可逆矩阵也叫做非奇异矩阵或非退化矩阵注：⑴可逆矩阵一定是方阵，并且它的逆矩阵是与它同阶的方阵。⑵可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的。那么称一.可逆矩阵的定义：例如矩阵A,B互为可逆矩阵矩阵可逆的条件现在的问题是：在什么条件下矩阵A是可逆的？如果A可逆，怎样求A-1？为此先引入伴随矩阵的概念.定理称为A的伴随矩阵.证明:若A可逆,有两边取行列
2、式,得从而求逆矩阵方法一：伴随矩阵法注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆.2)此定理在理论推导中非常有用.3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.中元素aij的代数余子式，矩阵伴随矩阵定义设Aij是矩阵例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵解:例2求矩阵A的逆矩阵，其中解逆矩阵的性质定理2.4.2若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的.证明 若B、C都是A的逆矩阵，则于是性质2若A可逆，则可逆，且事实上，这由等式，可以直接推出.矩阵求逆运算规律性质1若A可逆，则可逆，且性质2两个n阶可逆矩阵
3、A、B的乘积AB可逆且证明 由于故AB可逆，且一般地，性质3可逆矩阵A的转置矩阵可逆，且证性质4性质5由初等矩阵的定义可以看出，初等矩阵都是可逆的，且：可逆矩阵与初等矩阵的关系定理2.4.5n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可写成初等矩阵的乘积定理2.4.4n阶方阵A是可逆矩阵的充要条件是A可以经过初等变换化为单位矩阵求逆矩阵方法二：初等变换法例所以A可逆，且例试判断A是否可逆，若可逆求从而知，A不可逆。（1）判断矩阵A是否可逆，可直接对作初等行变换，若变换过程中，与A等价的矩阵中有一行为0，就能判断A不与
4、I等价，从而知A不可逆。注意：（2）若作阶分块矩阵只对分块矩阵单位矩阵时，作初等列变换，当可逆矩阵A化为子块I就化成了解例如求利用逆矩阵求解线性方程组(解矩阵方程)
5、如果矩阵A和C分别是m阶和n阶可逆矩阵，矩阵B是m×n阶矩阵，则1）矩阵方程AX=B的解为2）矩阵方程XA=B的解为3）矩阵方程AXC=B的解为一般地四、逆矩阵的性质性质1若A可逆，则可逆，且性质2两个n阶可逆矩阵A、B的乘积AB可逆且性质3可逆矩阵A的转置矩阵可逆，且性质4性质51、利用可逆的充要条件，设法证明2、利用矩阵可逆的定义，若能验证
6、则A可逆，且3、利用可逆矩阵的性质证明.证明矩阵A可逆的方法例若方阵A满足A3=0，证明：可逆，且证：例6若A是非奇异矩阵，且AB=AC,则B=C.证因为A为非奇异矩阵，所以A可逆.例设A为n阶矩阵(n2),证明
7、A*
8、=
9、A
10、n-1.证由于AA*=A*A=
11、A
12、I,所以
13、A
14、
15、A*
16、=
17、A
18、n(4)下面分三种情形讨论:(1)
19、A
20、0,即A可逆,(4)式两端除以
21、A
22、即得
23、A*
24、=
25、A
26、n-1.(2)
27、A
28、=0,且A=O,则A*=O,结论显然成立.(3)
29、A
30、=0,但AO,反设
31、A*
32、0,则A*可逆
33、,因而A=(AA*)(A*)-1=(
34、A
35、I)(A*)-1=
36、A
37、(A*)-1=O,故A=O,与AO矛盾,所以,
38、A*
39、=0=
40、A
41、n-1.例设n阶矩阵A,B,A+B均可逆,证明(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(B+A)-1A.证将A-1+B-1表示成已知的可逆矩阵的乘积:A-1+B-1=A-1(I+AB-1)=A-1(BB-1+AB-1)=A-1(B+A)B-1.由可逆矩阵的性质可知(A-1+B-1)-1=[A-1(A+B)B-1]-1=B(B+A)-1A.同理可证另一个等式也成立.克拉默
42、法则的另一证法利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种推导法.线性方程组可以写成AX=B.(6)如果
43、A
44、0，那么A可逆.用X=A-1B代入(6)，得恒等式A(A-1B)=B，这就是说A-1B是一解.如果X=C是(6)的一个解，那么由AC=B得A-1(AC)=A-1B，即C=A-1B.这就是说，解X=A-1B是唯一的.用A-1的公式(4)代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.授课题目4.2可逆矩阵授课时数：2课时教学目标：掌握可逆矩阵及逆矩阵的概念，可逆矩阵的性质，求逆矩阵的公式可逆矩阵的判定.教学重点
45、：可逆矩阵的判定，求逆矩阵的公式,可逆矩阵的性质.教学难点：逆矩阵的定义，伴随矩阵与矩阵的关系
