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1、排队论一.概率论回顾二.排队论的基本知识三.单服务台负指数分布排队系统分析四.多服务台负指数分布排队系统分析一、概率论回顾随机变量离散型随机变量概率分布和概率分布图数学期望和方差常见离散型随机变量的概率分布二点分布?二项式分布?Poisson分布?1.1、随机变量与概率分布泊松分布的定义及图形特点设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,且概率分布为：其中>0是常数,则称X服从参数为的泊松分布,记作X~P().泊松分布的图形特点：X~P()历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的.在实际中，许多随机现象
2、服从或近似服从泊松分布.二项分布与泊松分布泊松定理：设是一个正整数，，则有由此可知设随机变量Xn~B(n,p),(n＝0,1,2,…),且n很大，p很小，记=np，则Poisson分布可以作为大量试验中稀有事件出现的频数的概率分布数学模型。如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数;…一放射性源放射出的粒子数；例如这些随机变量都有如下特点：都取正整数，且与时间间隔长度关；取值概率只与时间间隔的长度有关，而与从哪个时刻开始算起没有关系；在互不相交
3、的时间间隔内，彼此没有影响。在自然界和人们的现实生活中,经常要遇到在随机时刻出现的某种事件.我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列,叫做随机事件流.若事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松事件流（泊松流）.泊松分布产生的一般条件下面简要解释平稳性、无后效性、普通性.平稳性:在任意时间区间内[t,t+t)，事件发生k次(k≥0)的概率只依赖于区间长度t，而与区间起点t无关.无后效性:普通性:在不相交的时间区间内，事件的发生是相互独立的，前一区间内发生的事件数不影响到后面区间事件的发生数的概率.在足够短的时间内，事件
4、出现两次或两次以上的概率可忽略不计.对泊松流，在任意时间间隔(0,t)内,事件(如交通事故)出现的次数服从参数为t的泊松分布.称为泊松流的强度.随机变量连续型随机变量概率密度函数概率分布函数数学期望和方差常见连续型随机变量的概率分布均匀分布指数分布？正态分布？k阶爱尔朗分布？一、随机变量与概率分布随机变量X为时间间隔，如顾客到达的时间间隔、电话呼叫的时间、产品的寿命等。密度函数随机变量X为时间(长度），如产品的尺寸、重量、测量误差等。密度函数指数分布密度函数均值方差随机变量T分布函数fT(t)t指数分布性质1fT(t)tttfT
5、(t)是一个严格下降函数指数分布性质2无后效性取值概率只与时间间隔的长度有关，而与从那个时刻开始算起没有关系；不管多长时间(t)已经过去，逗留时间的概率分布与下一个事件的相同.T：元件寿命。元件已使用小时的条件下，一共能用的概率＝从开始算起至少能用的概率。即元件对于已使用小时没有记忆。（无记忆性）Poisson过程与Poisson分布定理1：设为时间内到达系统的顾客数则为Poisson过程的充要条件是服从参数为的Piosson分布Poisson过程与负指数分布定理2：设为时间内到达系统的顾客数则为参数为的Poisson过程的充要条件是
6、相继到达的时间间隔T服从相互独立的参数为的负指数分布。：第n个顾客与第n-1个顾客到达的时间间隔；Poisson过程与Poisson分布的关系：定理1：设为时间内到达系统的顾客数则为Poisson过程的充要条件是定理2：设为时间内到达系统的顾客数则为参数为的Poisson过程的充要条件是相继到达的时间间隔T服从相互独立的参数为的负指数分布。对于Poisson流：——单位时间平均到达的顾客数——顾客相继到达的平均间隔时间二、排队论的基本知识2.1排队模型2.2排队系统的组成和特征排队论研究的内容性态问题:排队系统的概率规律,如队长分布,等
7、待时间分布等.最优化问题:排队系统的最优设计.统计推断:判定排队系统的类型.顾客源2.1、排队模型排队系统排队结构服务机构排队规则服务规则接受服务后离去——排队系统的的一般表示服务机构服务台(a)一个队列、单服务台（阶段）服务台1服务台2(b)一个队列、s个服务阶段服务机构服务台1服务台2服务机构(c)一个队列、s个服务台一个服务阶段服务台3服务台4服务台1服务台2服务机构(d)s个队列、s个服务阶段服务台3服务台4服务台1服务台2:1–2–4:2–4–3:3–2–1–4服务机构(e)混合型排队结构服务台(f)一个队列服务台(g)s个队
8、列输入过程顾客总体:有限,无限.顾客到达方式:单个,成批.顾客到达间隔时间:确定的、随机的.顾客到达的独立性:独立,不独立.输入过程的平稳性:与时间无关(平稳的),与时间有关(非平稳的).2.2、排队系统的
