高等数学(2017高教五版)课件极限72上极限和下极限(工科类).ppt

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1、一、上（下）极限的基本概念数列的上极限与下极限是非常有用的概念,通过它们可得出数列极限存在的另一个充要条件.在下册第十二、十四章讨论级数收敛性时,常会遇到所考虑的某些数列不存在极限的情形,那时需要用上极限或下极限来解决问题.此外,对于不少后继课程来说,上(下)极限也是不可缺少的工具.*§2上极限和下极限数学分析第七章实数的完备性二、上（下）极限的基本性质*点击以上标题可直接前往对应内容定义1上(下)极限的基本概念注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于:若数列满足:在数的任何一个邻域内均含有中的无限多项,则称x0是数列的常数列只有一个聚点:

2、a.的一个聚点.限多个项”.前者要求“含有无限多个点”,后者要求“含有无现举例如下:后退前进目录退出上（下）极限的基本概念定理7.4有界数列至少存在一个聚点,并且有最大聚点和但作为数列来说,它却有两个聚点:有五个聚点:数列从数列聚点的定义不难看出,x0是数列的聚作为点集来说它仅有两个点,点的一个充要条件是:最小聚点.故没有聚点;上（下）极限的基本概念存在的一个子列又设由于E非空有界,故由确界原理,下面证明是{xn}的最大聚点,亦即证设为有界数列,的一个聚点.于是首先,由上确界的性质,由致密性定理,存在一个收敛子列使存在上（下）极限的基本概

3、念存在因为是的聚点,所以对任意正数在区间存在使存在使存在使上（下）极限的基本概念的无限多项.现依次令这样就得到了{xn}的一个子列　　　满足:同理可证即证得定义2称为的上、下极限,记为上（下）极限的基本概念有界数列的最大聚点与最小聚点分别注由定理7.4得知,有界数列必有上、下极限.提供了一个新的平台.的上、下极限总是存在的,这为研究数列的性质极限来研究该数列往往是徒劳的;数列若有界,它的极限可以不存在,此时想通过这样,上、下极限的优越性就显现出来了:但是有界数列一个例1考察以下两个数列的上、下极限:从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极

4、限之间存在着的内在联系.详细讨论请见下文.上（下）极限的基本概念定理7.6定理7.5上(下)极限的基本性质由上、下极限的定义,立即得出:对任何有界数列有下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系.有界数列存在极限的充要条件是:(1)(2)上（下）极限的基本性质证设对于任意正数在这样,对任意的只有有限项.那么在内(此时必取反之,若上式成立,则的聚点唯一(设为A),若这就是说,B从而的聚点,不是故仅有一个聚点A,有限项.之外只有上（下）极限的基本性质一的假设相矛盾.另一聚点,导致与聚点唯性定理,这无限多项必有的无限多项.之外含有使得在倘若不

5、然,则存在此时易证由致密上（下）极限的基本性质定理7.7设为有界数列,则有的充要条件是:对于任意的(i)存在N,当n>N时,的充要条件是:对于任意的(i)存在N,当n>N时,证在形式上是对称的,所以仅证明.上（下）极限的基本性质必要性设因为A是的一个聚点,所以存在使得故对于任意的当k>K时，将中的前面K项剔除,这样就证明了(ii).上,至多只含的有限项.话,因为有界,这与A是最大聚点相矛盾.又因A是的最大聚点,所以对上述e,存在在区间不然的在故上还有聚点,上（下）极限的基本性质设这有限项的最大下标为N,那么当n>N时,充分性任给综合(i)

6、和(ii),上含有{xn}的无限项,这说明在在即A是{xn}的聚点.而对于任意的上（下）极限的基本性质{xn}的有限项,上也至多只有从而有所以A是的最大聚点.故不是{xn}的聚点,定理7.8(保不等式性)设{xn},{yn}均为有界数列,并且满足:存在当n>N0时,有则取上(下)极限后,原来的不等号方向保持不变:特别若则更有(3)(4)上（下）极限的基本性质证设因为B是{yn}的而(4)式则可由又因(1)与(3)式直接推得.的最小聚点A理应满足它与也是由于的极限,便得取聚点,故存在的一个收敛子列,的聚点,同理可证关于上极限的不等式;所以存

7、在,上（下）极限的基本性质证这里只证明(i),(ii)可同理证明.由定理7.7,存在N,(5)(6)例1都是有界数列,那么设当n>N时,上（下）极限的基本性质设故再由定理7.8的(4)式,得因为是任意的,故注这里严格不等的情形确实会发生,例如上（下）极限的基本性质例2设,且求证的全体聚点的集合为证设E是的全体聚点的集合,显然有内仅含的有限项:在任给,欲证如若不然,则存在上（下）极限的基本性质所以存在这就是说,当时,所有的均不在之内.又因当n>K时,由(7)导致所有前者与B是的聚点矛盾;或者都有的或者都有后者与A是故证得,即的聚点矛盾.上（

8、下）极限的基本性质从而定理7.9设{xn}为有界数列.则有(i)A是{xn}的上极限的充要条件是(ii)B是{xn}的下极限的充要条件是(8)(9)上（下）极限的基本性质递减数列,并且有界,一